Optimización, diferencialidad y convexidad en espacios de Banach

En esta tesis se tratan diversos temas enmarcados dentro del Analisis Funcional: buscar extensiones del teorema de compacidad debil de James donde se restringe el conjunto de funcionales que alcanzan su supremo; estudiar el concepto de operador spear y su relacion con propiedades clasicas de espacios de Banach, analizar propiedades de los espacios de Hardy de series de Dirichlet vector-valuadas. Respecto a la metodologia, la mayor parte de la tarea investigadora se ha basado en el estudio de libros y articulos relacionados con los topicos a tratar con el fin de aprender tecnicas y herramientas que pudiesen resultar utiles. Esto se ha combinado con participaciones en congresos y estancias de investigacion en otras instituciones que han permitido interactuar con otros investigadores y especialistas en estas materias. La tesis consta de tres capitulos y un apendice. En el capitulo 1 se estudian extensiones de resultados relacionados con el teorema de James donde las hipotesis se restringen a funcionales que satisfacen una cierta propiedad de separacion. El resultado principal establece que, para un espacio de Banach X cuya bola dual sea debil* compacta por bloques convexos, si A y B son dos subconjuntos acotados, convexos y cerrados de X estrictamente separados tales que todo funcional con sup(x*, A) < inf(x*, B) alcanza su supremo en A y su infimo en B, entonces ambos conjuntos son debilmente compactos. En el capitulo 2 se lleva a cabo un estudio sistematico del concepto de operador spear inspirado en la teoria de espacios de Banach con indice numerico uno. Se desarrolla un nuevo enfoque basado en el uso de vectores y conjuntos spear que permite unificar resultados conocidos asi como probar otros nuevos. Se introducen y analizan en profundidad tres nuevas clases de operadores (aDP, target y lush) proporcionando caracterizaciones y ejemplos en espacios concretos, asi como aplicaciones al estudio de vectores spear en espacios de funciones lipschitzianas. El capitulo 3 se dedica a las series de Dirichlet con coeficientes en un espacio de Banach. La primera parte del capitulo se centra en el estudio de la transformada de Bohr como herramienta para establecer isomorfismos isometricos entre espacios de Hardy de series de Dirichlet, espacios de funciones Bochner integrables en el toro infinito-dimensional, espacios de operadores cono absolutamente sumantes y espacios de funciones holomorfas en infinitas variables. En la segunda parte se estima asintoticamente la mejor constante en la desigualdad que compara la p-norma y q-norma de un polinomio de Dirichlet en terminos del grado. En el apendice se describen resultados obtenidos en relacion a otros temas tambien abordados: indices y cuantificacion de propiedades de espacios de Banach (RNP y existencia de copias de c_0), ideales de Baire, analisis de funciones en el cubo Booleano y operaciones con conjuntos SCD en espacios de Banach. This thesis deals with several topics in the framework of Functional Analysis: the search for extensions of James weak compactness theorem where the set of functionals attaining its supremum is restricted, the study of the concept of spear operator and its relation with classical properties of Banach spaces, and the analysis of properties of the Hardy spaces of vector-valued Dirichlet series. Concerning the methodology, the research work has been mainly based upon the study of books and articles on the subject in order to learn techniques and tools that may be useful. This has been combined with attendance to conferences and research stays in other institutions, allowing to interact with other researchers and specialists on these topics. The thesis consists of three chapters and one appendix. In chapter 1 we study extensions of results related to James theorem where hypothesis are restricted to sets of functionals satisfying a certain separating condition. The main result establishes that for a Banach space X whose dual ball is weak* convex block compact, if A and B are two bounded convex and closed subsets strictly separated such that every with sup(x*, A) < inf(x*, B) attains its supremum on A and its infimum on B, then both A and B are weakly compact. In chapter 2 we carry out a systematic study of the concept of spear operator inspiring on the theory of Banach spaces with numerical index one. We develop a new approach based on the concepts of spear vector and set which let us unify previously known results and to prove new ones. We introduce and extensively study three new classes of operators (aDP, target and lush) for which we provide with geometrical characterizations and examples in concrete spaces, as well as applications to the study of spear vectors in spaces of Lipschitz functions. Chapter 3 is focused on Dirichlet series with coefficients in a Banach space. The first part of the chapter is aimed at the study of the Bohr transform as a tool to establish isometric isomorphism between Hardy spaces of Dirichlet series, spaces of Bochner integrable functions on the infinite-dimensional torus, spaces of cone absolutely summing operators and spaces of holomorphic functions in infinitely many variables. In the second part we provide with asymptotic estimations of the best constant comparing the p-norm and the q-norm of a Dirichlet polynomial in terms of the degree. In the appendix, we describe results obtained in relation to other topics which have been tackled, namely indexes and quantification of Banach space properties (RNP and existence of copies of c_0), Baire ideals, analysis of functions on the Boolean cube and operations with SCD sets in Banach spaces.