Contributions to ergodic theory and topological dynamics : cube structures and automorphisms

Cette these est consacree a l'etude des differents problemes lies aux structures des cubes , en theorie ergodique et en dynamique topologique. Elle est composee de six chapitres. La presentation generale nous permet de presenter certains resultats generaux en theorie ergodique et dynamique topologique. Ces resultats, qui sont associes d'une certaine facon aux structures des cubes, sont la motivation principale de cette these. Nous commencons par les structures de cube introduites en theorie ergodique par Host et Kra (2005) pour prouver la convergence dans $L^2 $ de moyennes ergodiques multiples. Ensuite, nous presentons la notion correspondante en dynamique topologique. Cette theorie, developpee par Host, Kra et Maass (2010), offre des outils pour comprendre la structure topologique des systemes dynamiques topologiques. En dernier lieu, nous presentons les principales implications et extensions derivees de l'etude de ces structures. Ceci nous permet de motiver les nouveaux objets introduits dans la presente these, afin d'expliquer l'objet de notre contribution. Dans le Chapitre 1, nous nous attachons au contexte general en theorie ergodique et dynamique topologique, en mettant l'accent sur l'etude de certains facteurs speciaux. Les Chapitres 2, 3, 4 et 5 nous permettent de developper les contributions de cette these. Chaque chapitre est consacre a un theme particulier et aux questions qui s'y rapportent, en theorie ergodique ou en dynamique topologique, et est associe a un article scientifique. Les structures de cube mentionnees plus haut sont toutes definies pour un espace muni d'une unique transformation. Dans le Chapitre 2, nous introduisons une nouvelle structure de cube liee a l'action de deux transformations S et T qui commutent sur un espace metrique compact X. Nous etudions les proprietes topologiques et dynamiques de cette structure et nous l'utilisons pour caracteriser les systemes qui sont des produits ou des facteurs de produits. Nous presentons egalement plusieurs applications, comme la construction des facteurs speciaux. Le Chapitre 3 utilise la nouvelle structure de cube definie dans le Chapitre 2 dans une question de theorie ergodique mesuree. Nous montrons la convergence ponctuelle d'une moyenne cubique dans un systeme muni deux transformations qui commutent. Dans le Chapitre 4, nous etudions le semigroupe enveloppant d'une classe tres importante des systemes dynamiques, les nilsystemes. Nous utilisons les structures des cubes pour montrer des liens entre proprietes algebriques du semigroupe enveloppant et les proprietes topologiques et dynamiques du systeme. En particulier, nous caracterisons les nilsystemes d'ordre 2 par une propriete portant sur leur semigroupe enveloppant. Dans le Chapitre 5, nous etudions les groupes d'automorphismes des espaces symboliques unidimensionnels et bidimensionnels. Nous considerons en premier lieu des systemes symboliques de faible complexite et utilisons des facteurs speciaux, dont certains lies aux structures de cube, pour etudier le groupe de leurs automorphismes. Notre resultat principal indique que, pour un systeme minimal de complexite sous-lineaire, le groupe d'automorphismes est engendre par l'action du shift et un ensemble fini. Par ailleurs, en utilisant les facteurs associes aux structures de cube introduites dans le Chapitre 2, nous etudions le groupe d'automorphismes d'un systeme de pavages representatif. La bibliographie, commune a l'ensemble de la these, se trouve en fin document