Existence et multiplicité de solutions pour des problèmes elliptiques avec croissance critique dans le gradient

Dans cette these, nous donnons des resultats d’existence, de non-existence, d’unicite et de multiplicite de solutions pour des equations aux derivees partielles avec croissance critique dans le gradient. Les principales methodes utilisees dans nos preuves sont des arguments variationnels, la theorie des sous et sur-solutions, des estimations a priori et la theorie de la bifurcation. La these se compose de six chapitres. Dans le chapitre 0 nous introduisons le sujet de these et nous presentons les resultats principaux. Le chapitre 1 porte sur l’´etude d’une equation du type p-Laplacien avec croissance critique dans le gradient et dependant d’un parametre. En fonction de l’intervalle ou se trouve le parametre, nous obtenons l’existence et l’unicite d’une solution ou nous montrons l’existence et la multiplicite de solutions. Dans les chapitres 2 et 3, nous poursuivons notre etude dans le cas ou l’operateur utilise est le Laplacien mais, contrairement au chapitre 1, nous etudions le cas ou les coefficients changent de signe. Nous obtenons a nouveau des resultats d’existence et de multiplicite de solutions. Dans le chapitre 4, nous etudions des problemes nonlocaux du type Laplacien fractionnaire avec differents termes de gradient non-local. Nous montrons des resultats d’existence et de non-existence de solutions pour differentes equations de ce type. Finalement, dans le chapitre 5 nous presentons quelques problemes ouverts lies au contenu de la these et des perspectives de recherche.