Q-grammaires : un outil pour l'énumération

Cette these se situe dans le domaine de la combinatoire enumerative. Les q-grammaires constituent une extension de la methode dsv : les objets a enumerer sont codes par les mots d'un langage algebrique. Nous nous concentrons sur l'enumeration suivant plusieurs parametres d'objets codes par des mots. Le formalisme introduit permet d'ecrire, pour les series generatrices suivant plusieurs parametres, des equations fonctionnelles non necessairement algebriques, et dont les solutions ne sont generalement pas des series algebriques. Les parametres d'enumeration, appeles q-comptables, sont des parametres cumulatifs definis au moyen d'attributs synthetises, et peuvent etre interpretes comme comptant certaines familles de sommets dans les arbres de derivation. Essentiellement, chaque utilisation d'une regle de derivation fait croitre un parametre q-comptable d'une quantite qui doit etre un parametre q-comptable de rang inferieur. Les parametres q-comptables comprennent le nombre d'occurrences d'une lettre donnee, et, dans le cas de mots codant des chemins discrets, peuvent inclure des statistiques telles que l'aire de la surface delimitee par le chemin, ou son moment d'inertie. Nous etudions dans quelles conditions la grammaire utilisee pour engendrer un langage peut etre modifiee sans que certains parametres ne perdent leur caractere q-comptable. Nous montrons qu'il est possible de mettre les grammaires sous des formes normales sans perte de parametres q-comptables. Sont egalement abordes le calcul de series de moments destinees a l'evaluation de valeurs moyennes de parametres q-comptables. En particulier, les series de moments projetees sont algebriques, et s'ecrivent explicitement en fonction des series generatrices algebriques des langages engendres par la grammaire.