Treball Final de Grau

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Caṕitulo 1. Calculo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1 El problema mas simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Ecuacion de Euler y condicion de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Condiciones necesarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Condiciones suficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Criterio optimo mas general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Problemas variacionales multidimensionales . . . . . . . . . . . . 24 Caṕitulo 2. Teoŕia del control optimo . . . . . . . . . . . . . 26 2.1 Un boceto del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Restricciones sobre las variables de control . . . . . . . . . . . 28 2.3 El principio del maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 El principio del maximo multidimensional . . . . . . . . . . . . . 33 2.5 El calculo variacional y el principio del maximo . . . . . . . . . 36 2.6 El Hamiltoniano en la mecanica clasica . . . . . . . . . . . . . . . 38 Caṕitulo 3. Teoŕia del control optimo estocastico . . . . . . 39 3.1 Conceptos introductorios del calculo estocastico . . . . . . . . . 39 3.2 El principio del maximo estocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Aplicacion financiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 El principio del maximo de Pontryagin ABSTRACT. The aim of this end of degree work is to analyze a few problems studied by the optimal control theory using the Pontryagin’s maximum principle. It is divided into three distinct parts: in the first one we introduce the calculus of variations theory, in the second one we present the optimal control theory and the maximum principle and we show that this theory can be treated as an extension of calculus of variations; and, finally, in the last part we expose how the optimal control theory can be extended considering some randomness, that is to say, for cases involving stochastic processes. The aim of this end of degree work is to analyze a few problems studied by the optimal control theory using the Pontryagin’s maximum principle. It is divided into three distinct parts: in the first one we introduce the calculus of variations theory, in the second one we present the optimal control theory and the maximum principle and we show that this theory can be treated as an extension of calculus of variations; and, finally, in the last part we expose how the optimal control theory can be extended considering some randomness, that is to say, for cases involving stochastic processes. RESUMEN. El objetivo de este trabajo final de grado es el analizar algunos de los problemas estudiados por la teoŕia del control optimo mediante el principio del maximo de Pontryagin. Lo estructuramos en tres pares diferenciadas: en la primera introducimos la teoŕia del calculo de variaciones; en la segunda presentamos la teoŕia del control optimo y el principio del maximo y vemos que esta teoŕia se puede considerar como una extension del calculo variacional; y, finalmente, en la ultima parte exponemos como se puede extender la teoŕia del control optimo considerando cierta aleatoriedad, es decir, para casos en que se involucran procesos estocasticos.