Approximation of nonsmooth optimization problems and elliptic variational inequalities with applications to elasto-plasticity

Optimierungsprobleme und Variationsungleichungen uber Banach-Raumen stellen Themen von substantiellem Interesse dar, da beide Problemklassen einen abstrakten Rahmen fur zahlreiche Anwendungen aus verschiedenen Fachgebieten stellen. Nach einer Einfuhrung in Teil I werden im zweiten Teil allgemeine Approximationsmethoden, einschlieslich verschiedener Diskretisierungs- und Regularisierungsansatze, zur Losung von nichtglatten Variationsungleichungen und Optimierungsproblemen unter konvexen Restriktionen vorgestellt. In diesem allgemeinen Rahmen stellen sich gewisse Dichtheitseigenschaften der konvexen zulassigen Menge als wichtige Voraussetzungen fur die Konsistenz einer abstrakten Klasse von Storungen heraus. Im Folgenden behandeln wir vor allem Restriktionsmengen in Sobolev-Raumen, die durch eine punktweise Beschrankung an den Funktionswert definiert werden. Fur diesen Restriktionstyp werden verschiedene Dichtheitsresultate bewiesen. In Teil III widmen wir uns einem quasi-statischen Kontaktproblem der Elastoplastizitat mit Hartung. Das entsprechende zeit-diskretisierte Problem kann als nichtglattes, restringiertes Minimierungsproblem betrachtet werden. Zur Losung wird eine Pfadverfolgungsmethode auf Basis des verallgemeinerten Newton-Verfahrens entwickelt, dessen Teilprobleme lokal superlinear und gitterunabhangig losbar sind. Teil III schliest mit verschiedenen numerischen Beispielen. Der letzte Teil der Arbeit ist der quasi-statischen, perfekten Plastizitat gewidmet. Auf Basis des primalen Problems der perfekten Plastizitat leiten wir eine reduzierte Formulierung her, die es erlaubt, das primale Problem als Fenchel-dualisierte Form des klassischen zeit-diskretisierten Spannungsproblems zu verstehen. Auf diese Weise werden auch neue Optimalitatsbedingungen hergeleitet. Zur Losung des Problems stellen wir eine modifizierte Form der viskoplastischen Regularisierung vor und beweisen die Konvergenz dieses neuen Regularisierungsverfahrens.%%%%Optimization problems and variational inequalities over Banach spaces are subjects of paramount interest since these mathematical problem classes serve as abstract frameworks for numerous applications. Solutions to these problems usually cannot be determined directly. Following an introduction, part II presents several approximation methods for convex-constrained nonsmooth variational inequality and optimization problems, including discretization and regularization approaches. We prove the consistency of a general class of perturbations under certain density requirements with respect to the convex constraint set. We proceed with the study of pointwise constraint sets in Sobolev spaces, and several density results are proven. The quasi-static contact problem of associative elasto-plasticity with hardening at small strains is considered in part III. The corresponding time-incremental problem can be equivalently formulated as a nonsmooth, constrained minimization problem, or, as a mixed variational inequality problem over the…