Applications of equivalent representations of fractional- and integer-order linear time-invariant systems

Nicht-ganzzahlige - fraktionale - Ableitungsoperatoren beschreiben Prozesse mit Gedachtniseffekten, deshalb werden sie zur Modellierung verschiedenster Phanomene, z.B. viskoelastischen Verhaltens, genutzt. In der Regelungstechnik wird das Konzept vor allem wegen des erhohten Freiheitsgrades im Frequenzbereich verwendet. Deshalb wurden in den vergangenen Dekaden neben einer Verallgemeinerung des PID-Reglers auch fortgeschrittenere Regelungskonzepte auf nicht-ganzzahlige Operatoren erweitert. Das Gedachtnis der nicht-ganzzahligen Ableitung ist zwar essentiell fur die Modellbildung, hat jedoch Nachteile, wenn z.B. Zustande geschatzt oder Regler implementiert werden mussen: Das Gedachtnis fuhrt zu einer langsamen, algebraischen Konvergenz der Transienten und da eine numerische Approximation ist speicherintensiv. Im Zentrum der Arbeit steht die Frage, mit welchen Masnahmen sich das Konvergenzverhalten dieser nicht ganzzahligen Systeme beeinflussen lasst. Es wird vorgeschlagen, die Ordnung der nicht ganzzahligen Ableitung zu andern. Zunachst werden Beobachter fur verschiedene Klassen linearer zeitinvarianter Systeme entworfen. Die Entwurfsmethodik basiert dabei auf einer assoziierten Systemdarstellung, welche einen Differenzialoperator mit hoherer Ordnung verwendet. Basierend auf dieser Systembeschreibung konnen Beobachter entworfen werden, welche das Gedachtnis besser mit einbeziehen und so schneller konvergieren. Anschliesend werden ganzzahlige lineare zeitinvariante Systeme mit Hilfe nicht-ganzzahliger Operatoren dargestellt. Dies ermoglicht eine erhohte Konvergenz im Zeitintervall direkt nach dem Anfangszeitpunkt auf Grund einer unbeschrankten ersten Ableitung. Die periodische Loschung des so eingefuhrten Gedachtnisses wird erzielt, indem die nicht ganzzahlige Dynamik periodisch zuruckgesetzt wird. Damit wird der algebraischen Konvergenz entgegen gewirkt und exponentielle Stabilitat erzielt. Der Reset reduziert den Speicherbedarf und induziert eine unterlagerte zeitdiskrete Dynamik. Diese bestimmt die Stabilitat des hybriden nicht-ganzzahligen Systems und kann genutzt werden um den Frequenzgang fur niedrige Frequenzen zu bestimmen. So lassen sich Beobachter und Regler fur ganzzahlige System entwerfen. Im Rahmen des Reglerentwurfs konnen durch den Resets das Verhalten fur niedrige und hohe Frequenzen in gewissen Grenzen getrennt voneinander entworfen werden.