On the excess charge problem in relativistic quantum mechanics

Wir untersuchen wie viele Elektronen ein Atom der Kernladungszahl Z binden kann. Dieses ist ein klassisches Problem der mathematischen Physik. Experimentell ist die Uberschussladung Q:=N−Z hochstens Eins. Ziel dieser Arbeit ist es, eine obere Schranke mathematisch fur realistische Modelle groser Atome (Z gros) herzuleiten. Fur grose Z sind relativistische Modelle wesentlich. Wir untersuchen zwei Modelle. Das erste Modell wurde von Brown und Ravenhall vorgeschlagen. Wahrend nichtrelativistische Modelle detailliert untersucht wurden, ist im Brown-Ravenhall-Modell nicht einmal klar, dass Q beschrankt ist. Um eine solche Schranke zu gewinnen, folgen wir eine Strategie von Benguria. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das Moment |x|, was in der nichtrelativistischen Quantenmechanik erfolgreich angewendet wurde. Der Hauptunterschied liegt im Coulomb-Potential-Term. In der Schrodinger-Theorie ist |x|Z/|x| konstant. Aber in unserem Fall ist der entsprechende Term lambda+|x|lambda+Z/|x|lambda+, was keine Konstante mehr ist. Dabei bezeichnet lambda+ die Projektion auf den positiven Spektralraum von D0. Unser erstes Hauptergebnis ist, eine obere Schranke an dieses Operators. Im masselosen Fall zeigen wir sowohl eine positive obere als auch eine positive untere Schranke. Im massiven Fall zeigen wir die Existenz der positiven oberen Schranke. Im zweiten Teil haben wir Schranken an Q sowohl in der zeitabhangigen nichtrelativistischen Thomas-Fermi-Weizsacker-Theorie, der zeitabhangigen relativistischen Thomas-Fermi-Theorie als auch in der zeitunabhangigen relativistischen Thomas-Fermi-Weizsacker-Theorie hergeleitet und bewiesen. Das Thomas-Fermi-Funktional ist ein approximatives Energiefunktional, das von der Teilchendichte rho abhangt. Der Weizsacker-Term ist die fuhrende Korrektur zur Thomas-Fermi-Theorie. In der nichtrelativistischen TFW-Theorie wurde die Ionisierungsvermutung von Benguria und Lieb bewiesen. Wir zeigen zunachst, dass auch im relativistischen Fall die Energie nach unten beschrankt ist. Mithilfe diese Resultats zeigen wir die Existenz eines Minimierers und damit die Existenz einer Losung, wenn N inreichend klein ist. Um eine Schranke an Q zu gewinnen, verwenden wir dieselbe Idee wie im ersten Teil. Wir integrieren die Euler-Lagrange-Gleichung gegen das |x| multipliziert mit einer Funktion der Dichte. In diesem Fall ist die Anzahl der Elektronen N kleiner als CZ, wo C ungefahr 2,56 ist.