Theoremes limites pour des processus discretises

Le but de ce travail est de tirer des proprietes de l'observation en temps discret de processus stochastiques, lorsque le pas de discretisation tend vers 0. Pour cela, on applique une fonction f aux accroissements d'un processus, et on effectue la somme apres avoir retire un terme de centrage et applique une normalisation appropriee. On obtient ainsi un processus discret. On fait tendre le pas de discretisation vers 0 et on obtient une convergence stable, le processus limite etant definit comme integrale stochastique de la fonction f par rapport a une mesure aleatoire (sorte de bruit blanc dependant du processus de depart). . Les processus de depart sont des semi-martingales quasi-continues a gauche a crochet absolument continu par rapport a la mesure de lebesgue, c'est a dire pouvant se decomposer en une semi-martingale purement discontinue et une martingale continue pouvant elle meme s'ecrire comme une integrale stochastique par rapport a un mouvement brownien (sur une extension de l'espace de depart). On voit en fait qu'a la limite on peut dissocier les parties continues et discontinues (une propriete de linearite apparait alors). Dans le cas discontinu, la mesure aleatoire limite est simplement la mesure aleatoire des sauts du processus de depart. Par contre dans le cas continu, la mesure aleatoire est une mesure martingale definie sur une extension de l'espace de depart, que nous diront gaussienne conditionnellement a la filtration de depart. On voit donc apparaitre un nouvel alea. L'interet de definir la limite d'une telle maniere est que partant d'un seul processus et d'une classe de fonctions, pouvant etre aleatoires, dependre du temps (essentiellement les fonctions sont continues a gauche, limites a droite en temps, et continues en espace) on cree toute une classe de processus limites definis comme integrale stochastiques d'une meme mesure aleatoire.