Virtual element methods for problems in acoustics and fluid dynamics

Diese Arbeit befasst sich mit der Einfuhrung und Analyse von Virtuellen Elemente Methoden (VEM) fur Problemstellungen in Akustik und Fluiddynamik. Implizite Definitionen der Basisfunktionen und geeignete Projektoren auf Raume von bekannten Funktionen ermoglichen den Einsatz von allgemeinen polytopalen Netzen und bieten daher im Vergleich zu Finiten Elemente Methoden mehr Freiheit bei der Konstruktion von Zerlegungen des Grundgebietes. Als Modellprobleme in Akustik und Fluiddynamik werden das Helmholtz Problem und das Problem der Vermischung von inkompressiblen Fluiden in porosen Medien betrachtet. Fur das Helmholtz Problem wird eine VEM eingefuhrt, die zusatzlich uber die Trefftz Eigenschaft verfugt, d.h. die verwendeten Basisfunktionen liegen im Kern des Helmholtz Operators. Dies gestattet, eine vorgegebene Approximationsgenauigkeit mit deutlich weniger Freiheitsgraden als mit Standardmethoden (nicht-Trefftz Methoden) zu erreichen, jedoch mit dem Nachteil einer moglicherweise sehr schlechten Konditionierung. Die Stetigkeitsbedingungen entlang der Kanten werden in einem nichtkonformen Sinn festgesetzt, was die Konstruktion eines numerischen Prozesses zur Milderung der schlechten Konditionierung erlaubt und die Methode wettbewerbsfahig macht. Theoretische und numerische Ergebnisse werden prasentiert. Das betrachtete fluiddynamische Problem kann durch eine nichtlineare Kopplung einer elliptischen Gleichung fur den Druck mit einer parabolischen fur die Konzentration beschrieben werden. Es werden semidiskrete und volldiskrete Formulierungen dieses Problems basierend auf einem gemischten Zugang im Kontext der virtuellen Elemente vorgestellt und analysiert. Die hergeleiteten theoretischen Resultate werden mittels numerischer Experimente uberpruft.