共轭线性对称性及其对 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称量子理论的应用

传统量子系统的哈密顿是自伴算子, 哈密顿的自伴性不仅保证系统遵循酉演化和保持概率守恒, 而且也保证了它自身具有实的能量本征值, 这类系统称为自伴量子系统. 然而, 确实存在一些物理系统(如 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称量子系统), 其哈密顿不是自伴的, 这类系统称为非自伴量子系统. 为了深入研究 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称量子系统, 并考虑到算子 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} 的共轭线性性, 首先讨论了共轭线性算子的一些性质, 包括它们的矩阵表示和谱结构等; 其次, 分别研究了具有共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的线性算子, 通过它们的矩阵表示, 给出了共轭线性对称性和完整共轭线性对称性的等价刻画; 作为应用, 得到了关于 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称及完整 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称算子的一些有趣性质, 并通过一些具体例子, 说明了完整 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称性对张量积运算不具有封闭性, 同时说明了完整 \begin{document}$ {\mathcal{P}}{\mathcal{T}} $\end{document} -对称性既不是哈密顿算子在某个正定内积下自伴的充分条件, 也不是必要条件.