Learning multiresolution: Transformaciones multiescala derivadas de la teoría estadística de aprendizaje y aplicaciones

El tratamiento de senales digitales se ha convertido en los ultimos anos en una de las tareas mas interesantes y de mayor recorrido para la investigacion matematica. Hay aplicaciones directas en el campo de la Informatica, redes de comunicacion, tratamientos medicos, tratamientos de recuperacion de obras de arte, de fotografias. Aplicaciones en Fisica, Mecanica, desarrollos en peliculas animadas y otras muchas que se conocen y que se conoceran a lo largo del tiempo. El tratamiento de senales podemos decir que comienza en la epoca de Fourier (1807), su aplicacion en funciones periodicas y su transformada para senales discretas es utilizada aun hoy con exito para la compresion y eliminacion de ruido. Sin embargo la transformada de Fourier esta deslocalizada en tiempo frecuencia (tan solo nos ofrece la frecuencia) lo que provoco en los anos 80 el desarrollo de las primeras bases wavelets. Estas bases tienen una localizacion tiempo frecuencia y gracias a los filtros que podemos obtener de ellas se pueden utilizar en el tratamiento de senales. Los esquemas de subdivision interpolatorios son reglas que nos permiten refinar un conjunto de datos interpolando los valores intermedios a los puntos dados utilizando combinaciones lineales de los valores vecinos. Estas dos ideas junto a la resolucion de ecuaciones en derivadas parciales es lo que indujo a Harten a elaborar un marco general de multiresolucion que permite por medio de dos operadores fundamentales: decimacion y prediccion establecer una conexion entre dos niveles de resolucion. La idea de Harten es sencilla pero a su vez esta cargada de grandes posibilidades pues generaliza las bases wavelets permitiendo la introduccion de elementos no lineales en sus operadores. ?En que consiste la idea de Harten? En primer lugar, se dio cuenta de que si tenemos un conjunto de valores discretos en una determinado nivel de resolucion k, estos poseen una naturaleza, es decir, procedian de una cierta funcion continua f y habian sido discretizados dependiendo de la naturaleza de los datos, asi pues genero un operador discretizacion. Por otra parte si deseamos tener mayor resolucion, es decir determinar mas puntos, necesitamos reconstruir primero esa senal continua que "perdimos" en la decimacion por medio de un operador que llamo reconstruccion, y con estos operadores definio los ya mencionados. Es en el operador donde se introduce toda la teoria interpolatoria y donde podemos utilizar interpolacion no lineal como los metodos presentados en el contexto de solucion de ecuaciones diferenciales para capturar las discontinuidades, metodos ENO y WENO. Harten impone una serie de condiciones a estos operadores, la primera de ellas es que el operador sea lineal y sobreyectivo, para ello propone las distintas potencias de la funcion de Haar. En la literatura sobre multiresolucion podemos encontrar otros operadores decimacion no splines. Nosotros no trabajaremos en este sentido, fijaremos varios operadores decimacion y trabajaremos con ellos. La segunda es que estos operadores cumplan una condicion de consistencia: si tenemos una senal y mejoramos su resolucion, es decir, predecimos estos datos y despues decimamos esta prediccion entonces recuperaremos los datos iniciales. Sin embargo en algunas aplicaciones (como compresion de imagenes digitales) no necesitamos esta propiedad, en esta memoria se presenta una alternativa para trabajar con operadores no consistentes que ofrece buenos resultados y que conserva las propiedades. Por tanto omitimos esta segunda propiedad que Harten senalo en su marco general. En esta tesis introducimos otra alternativa al operador reconstruccion. En lugar de utilizar elementos unicamente interpolatorios usamos aproximacion por medio de metodos de nucleo. Consisten en aproximar a un cierto valor dependiendo de la cercania (o lejania) de los valores de su entorno. Este metodo generaliza los metodos interpolatorios introduciendo posibles ventajas al poder utilizar gran cantidad de puntos sin subir el grado del polinomio interpolador. Son muchas las variables que componen un problema de aproximacion por metodos de nucleo. En esta tesis estudiamos algunas posibilidades y las ventajas y desventajas que suscitan. Nos planteamos la siguiente pregunta: conociendo la senal original, ?por que no utilizar esta informacion para generar un operador predictor mas adaptativo? Respondemos a esta utilizando tecnicas estadisticas de aprendizaje y generamos predictores que se adaptan a los contornos de la imagen y al nivel de resolucion que tenemos. Este tipo de resolucion nos induce a redefinir algunos conceptos que aparecen en el contexto de multiresolucion y que debemos redisenar para este tipo especifico de multiresolucion. Para ambas vias, tanto para multiresolucion utilizando metodos de nucleo como para multiresolucion de aprendizaje analizamos las distintas propiedades que tienen, las comparamos con los metodos clasicos y mostramos sus resultados. Esta tesis presenta de manera sencilla dos operadores prediccion de multiresolucion distintos que abren las puertas a otro gran numero de aplicaciones. Durante la realizacion de estos metodos han surgido diversos problemas. El desarrollo de esta tesis es la solucion a dichos problemas.