A 3D Helmholtz solver and efficient time integration methods for viscous flows in the ANTARES framework

Eine signifikante Schwierigkeit bei der Simulation physikalischer Systeme stellen die unterschiedlichen Zeitskalen dar, auf denen die verschiedenen physikalischen Prozesse ablaufen: die kleinste dieser Zeitskalen legt den maximal erlaubten Zeitschritt fur die gesamte Simulation fest. Dies kann Berechnungen erheblich verlangsamen. Um dieses Hindernis zu umgehen und die Integration der hydrodynamischen Grundgleichungen zu beschleunigen, wurden unterschiedliche Methoden in den ANTARES Code – den Code unserer Gruppe, der u.a. zur Simulation von Konvektion in pulsierenden und nicht-pulsierenden Sternen und doppelt-diffusiver Konvektion benutzt wird – implementiert. Das ubergreifende Thema dieser Dissertation ist die Weiterentwicklung einer dieser Methoden: einer stark Stabilitat erhaltenden implizit-expliziten (IMEX) Runge–Kutta Methode, die von F. Kupka et al., (2012) fur den ANTARES Code vorgestellt wurde. Bisher sind diese IMEX Methoden fur 2 Dimensionen implementiert und berucksichtigen ausschlieslich Warme- und Konzentrationsdiffusion als die Prozesse, welche den kleinsten Zeitschritt diktieren. Ein langfristiges Ziel unserer Gruppe ist die realistische hydrodynamische Simulation doppelt-diffusiver Konvektion in Gasriesenplaneten, was z.B. von J. Leconte and G. Chabrier, (2012) gefordert wird, da es einer der Kandidaten dafur ist, die Luminositatsanomalie von Saturn zu erklaren (J. Leconte and G. Chabrier, 2013). Um dies zu erreichen, sind mehrere Schritte notwendig: zunachst muss dafur gesorgt werden, dass die IMEX Methode auch fur Stromungen genutzt werden kann, deren Zeitschritt nicht nur durch Warme- und Konzentrationsdiffusion beschrankt wird, sondern dass auch solche Stromungen effektiv berechnet werden konnen, deren Zeitintegration von viskosen Prozessen gebremst wird. Der Grund ist, dass die viskose Zeitskala bei Simulationen von Konvektion in Gasriesenplaneten mit moderater Prandtl Zahl eine Beschrankung darstellt. Ein Teil dieser Dissertation besteht aus der Herleitung der IMEX-Gleichungen fur diese, durch Viskositat limitierten, Stromungen. Zweitens mussen die Simulationen in drei Dimensionen durchfuhrbar sein, da die Rotation von Planeten eine dritte Dimension verlangt. Drittens muss eine weitere Vereinfachung fallen gelassen werden, die bisher genutzt wurde: in Simulationen doppelt-diffusiver Konvektion wird angenommen, dass die thermische Leitfahigkeit Kt und die Konzentrationsdiffusion κS konstant sind. Dies ist in dem meisten physikalischen Systemen nicht der Fall. Wir mussen also eine Methode entwickeln, die Gleichungen zu losen, wenn Kt und κT nicht konstant sind. Eine Konsequenz daraus ist, dass die partielle Differentialgleichung, die aus dem impliziten Teil der IMEX Methode herruhrt, nicht-konstante Koeffizienten hat, die entweder nur von den Raumkoordinaten abhangen – in welchem Fall die zu losende Gleichung linear ist – oder von den Raumkoordinaten und z.B. der Temperatur abhangen – in welchem Fall die zu losende Gleichung nichtlinear ist. Um diese Gleichung zu losen, wird ein Multigrid Loser entwickelt, der sowohl die lineare, als auch die nichtlineare generalisierte Helmholtzgleichung in drei Dimensionen losen kann. Der Loser basiert auf dem exzellenten Multigrid Loser fur die zweidimensionale Helmholtzgleichung, der von Happenhofer, (2014) entwickelt wurde. Der entwickelte Loser ist sowohl fur die effiziente Nutzung der in dieser Dissertation entwickelten IMEX Methode, als auch fur zukunftige Erweiterungen von ANTARES wie z.B. die Nutzung der Eddington-Approximation von fundamentaler Wichtigkeit.