Top-down and Bottom-up Approaches to Discrete Diffusion Models

Esta tesis doctoral discute la formulacion de modelos discretos para la difusion de particulas Brownianas. Describiremos la evolucion de un conjunto discreto de variables dado por el numero de particulas Brownianas por unidad de volumen alrededor de una region. La concentracion discreta se define en terminos de un conjunto de funciones base localizadas alrededor de los nodos de una determinada malla. Estas funciones locales describen como las particulas Brownianas contribuyen a cada nodo. La ecuacion de evolucion para el campo de concentracion discreto toma la forma de una ecuacion diferencial estocastica (SDE). Uno de los propositos de esta tesis es el estudio del limite continuo de esta ecuacion. Se seguiran dos procedimientos para obtener la ecuacion diferencial estocastica. El primero de ellos comienza con una descripcion microscopica en terminos de las posiciones y las velocidades de todas las particulas que constituyen la suspension coloidal. Utilizando la Teoria del Coarse-Graining (ToCG) obtendremos la ecuacion que gobierna la evolucion del campo discreto de concentraciones. A este procedimiento lo llamaremos el acercamiento abajo-arriba. El segundo procedimiento comienza con una ecuacion de difusion en el espacio continuo que discretizaremos mediante tecnicas de analisis numerico. Lo llamaremos acercamiento arriba-abajo. Interesante y afortunadamente, ambos acercamientos convergen a la misma dinamica determinista para la concentracion discreta bajo ciertas aproximaciones. Tambien estudiaremos dos posibilidades para el conjunto de funciones base que seran usadas para definir las variables de concentracion discreta. En ambos casos las funciones base se definen en terminos de la triangulacion de Delaunay. El primero de los conjuntos de funciones base esta dado directamente por un elemento finito convencional (como, por ejemplo, una piramide con soporte en la red triangular para el caso bidimensional). Este conjunto base es valido para redes regulares. El segundo conjunto, denominado de elementos finitos conjugados, esta dado por una combinacion lineal de los elementos finitos de Delaunay. En contraposicion al conjunto formado por elementos finitos, mostraremos como este segundo conjunto de funciones base es superior en redes irregulares y tiene un orden de convergencia 2. La ecuacion diferencial estocastica para las variables de concentracion discreta nos permite discutir como introducir fluctuaciones termicas en una Ecuacion en Derivadas Parciales (PDE), de las que la ecuacion de difusion es un ejemplo paradigmatico. En el limite continuo, estas ecuaciones diferenciales estocasticas deben ser equivalentes a una Ecuacion Estocastica en Derivadas Parciales (SPDE). Mostraremos que para los modelos considerados en esta tesis doctoral, todos ellos en una dimension, el limite continuo existe. En general, para D > 1, el limite continuo de los modelos considerados no existe. El punto de vista de la teoria del Coarse-Graining en esta tesis doctoral arroja algo de luz sobre este problema y aporta una respuesta fisica naif: los modelos que habitualmente se usan limitan el tamano de las celdas discretas debido a las condiciones fisicas del problema y, por tanto, la existencia de un limite continuo para estos modelos no debe preocuparnos cuando consideramos fluctuaciones termicas.