Optimisation stochastique avec contraintes en probabilités et applications

L'incertitude est une propriete naturelle des systemes complexes. Les parametres de certains modeles peuvent etre imprecis; la presence de perturbations aleatoires est une source majeure d'incertitude pouvant avoir un impact important sur les performances du systeme. Dans cette these, nous etudierons les problemes d’optimisation avec contraintes en probabilites dans les cas suivants : Tout d’abord, nous passons en revue les principaux resultats relatifs aux contraintes en probabilites selon trois perspectives: les problemes lies a la convexite, les reformulations et les approximations de ces contraintes, et le cas de l’optimisation distributionnellement robuste. Pour les problemes d’optimisation geometriques, nous etudions les programmes avec contraintes en probabilites jointes. A l’aide d’hypotheses d’independance des variables aleatoires elliptiquement distribuees, nous deduisons une reformulation des programmes avec contraintes geometriques rectangulaires jointes. Comme la reformulation n’est pas convexe, nous proposons de nouvelles approximations convexes basees sur la transformation des variables ainsi que des methodes d’approximation lineaire par morceaux. Nos resultats numeriques montrent que nos approximations sont asymptotiquement serrees. Lorsque les distributions de probabilite ne sont pas connues a l’avance, le calcul des bornes peut etre tres utile. Par consequent, nous developpons quatre bornes superieures pour les contraintes probabilistes individuelles, et jointes dont les vecteur-lignes de la matrice des contraintes sont independantes. Sur la base des inegalites de Chebyshev, Chernoff, Bernstein et de Hoeffding, nous proposons des approximations deterministes. Des conditions suffisantes de convexite. Pour reduire la complexite des calculs, nous reformulons les approximations sous forme de problemes d'optimisation convexes solvables bases sur des approximations lineaires et tangentielles par morceaux. Enfin, des experiences numeriques sont menees afin de montrer la qualite des approximations etudiees sur des donnees aleatoires. Dans certains systemes complexes, la distribution des parametres aleatoires n’est que partiellement connue. Pour traiter les incertitudes dans ces cas, nous proposons un ensemble d'incertitude base sur des donnees obtenues a partir de distributions mixtes. L'ensemble d'incertitude est construit dans la perspective d'estimer simultanement des moments d'ordre superieur. Ensuite, nous proposons une reformulation du probleme robuste avec contraintes en probabilites en utilisant des donnees issues d’echantillonnage. Comme la reformulation n’est pas convexe, nous proposons des approximations convexes serrees basees sur la methode d’approximation lineaire par morceaux sous certaines conditions. Pour le cas general, nous proposons une approximation DC pour deriver une borne superieure et une approximation convexe relaxee pour deriver une borne inferieure pour la valeur de la solution optimale du probleme initial. Enfin, des experiences numeriques sont effectuees pour montrer que les approximations proposees sont efficaces. Nous considerons enfin un jeu stochastique a n joueurs non-cooperatif. Lorsque l'ensemble de strategies de chaque joueur contient un ensemble de contraintes lineaires stochastiques, nous modelisons ces contraintes sous la forme de contraintes en probabilite jointes. Pour chaque joueur, nous formulons les contraintes en probabilite dont les variables aleatoires sont soit normalement distribuees, soit elliptiquement distribuees, soit encore definies dans le cadre de l’optimisation distributionnellement robuste. Sous certaines conditions, nous montrons l’existence d’un equilibre de Nash pour ces jeux stochastiques.