E-Polynomial of GLn Character Varieties

Soit σ l'automorphisme par transpose-inverse de GLn, qui definit un produit semi-direct GLn⋊ . Soit Y→X un reve-tement double de surfaces de Riemann, qui est exactement la partie non ramifiee d'un revetement ramifie de surfaces de Riemann compactes. L'element non trivial de Gal(Y/X) sera note τ. A chaque point ramifie enleve, on associe une GLn(C)-classe de conjugaison contenue dans la composante connexe GLn(C).σ, et on exige que la famille C des classes de conjugaison soient generique. La variete de GLn(C)⋊ -caractere que l'on a etudie est l'espace de module des pairs (L,Φ) formes d'un systeme local L sur Y et d'un isomorphisme Φ:L → τ*L*, dont les monodromies autour des points ramifies sont determinees par C. On calcule le E-polynome de cette variete de caractere. A ce fin, on utilise un theoreme de Katz, ce qui nous rameme au comptage des points sur corps finis. La formule de comptage fait intervenir les caracteres irreductibles de GL_n(q)⋊ , et donc la table des l-adic caracteres de ce groupe est determinee au fur et a mesure. Le polynome qui en resulte s'exprime comme un produit scalaire de certaines fonctions symetriques associees au produit de couronne (Z/2Z)^N⋊(S_N), avec N=[n/2].