Analytical solutions of plane elasticity problems. Part I: Elastic regions weakened by elliptic holes

La methode de Kolossov et Muskhelishvili fourni un cadre general de resolution des problemes d\'elasticite plane. Elle est basee sur l\'introduction d\'une fonction bi-harmonique de contraintes ou fonction d\'Airy et la theorie des fonctions complexes. Jusqu\'a present, sa mise en oeuvre effective pour une approche analytique etait souvent limitee par la complexite des procedures calculatoires. Le calcul exact du champ de contraintes ou du facteur d\'intensite de contraintes dans un milieu fissure se complique rapidement et decourage a raison le plus zele des calculateurs. Les rares resultats qui existent sont en general obtenus par des methodes numeriques et souffrent des lors d\'un particularisme qui restreint leur domaine d\'application. Il en est de meme des methodes analytiques approchees qui ne proposent que des resultats asymptotiques valables seulement au voisinage immediat d\'une fissure, par exemple. La souplesse et les enormes possibilites de programmation qu\'offrent actuellement les outils de calcul formel tels que Mathematica permettent d\'envisager raisonnablement une approche analytique exacte autrefois laborieuse car faisant appel a des procedures mathematiques assez compliquees. Cette methode a donc ete appliquee a la determination des expressions analytiques (en conservant sous leur forme symbolique tous les parametres lies a la geometrie et au chargement) des champs de contraintes et de deplacements dans une plaque elastique sous diverses sollicitations et comportant un trou elliptique. Le cas limite d\'une fissure elliptique permet de deduire des expressions plus completes que celles asymptotiques largement utilisees en Mecanique de la Rupture. The present study deals with the analytic resolution of fundamental problems of the plane elasticity theory. Based on the general framework suggested by Kolossov and Muskhelishvili through the complex representation theory, the investigation aims to determine analytical expressions of stress and displacements fields inside an elastic plate containing elliptic holes and subjected to some specific boundary conditions. This analytic approach, initially difficult to perform, is associated to a computer algebra system like Mathematica to overcome computations difficulties arising when one attempts to calculate the exact analytic solutions. Obtained results precise the validity of asymptotic solutions, widely used in fracture mechanics. Some specific aspects of the fracture mechanics such as iso-stress lines at the crack vicinity are also analyzed. Keywords : Calcul formel, Integral de Cauchy, Elasticite plane, Transformation conforme, Fonctions analytiques;Computer algebra, Cauchy Integral, Plane elasticity theory, Conformal mapping, Analytical functions. Journal des Sciences Pour l\'Ingenieur. Vol. 8 2007: pp. 62-73