Éléments finis d'ordre élevé pour maillages hybrides : Application à la résolution de systèmes hyperboliques linéaires en régimes harmonique et temporel

Dans cette these, nous nous interessons a la construction d'elements finis d'ordre eleve adaptes aux maillages hybrides, pour la resolution de systemes hyperboliques lineaires en regimes harmonique et temporel. L'accent est plus particulierement porte sur la construction d'elements pyramidaux. On etudie trois formulations pour lesquelles on cherche des elements finis « optimaux » au sens de la convergence dans la norme de l'espace considere pour la formulation. Pour les formulations H1 et H(rot), on construit des elements finis « optimaux » nodaux et hp. Les matrices elementaires sont evaluees grâce a des formules de quadrature adaptees et des estimations d'erreur sont effectuees pour verifier la convergence des elements optimaux construits. Pour la formulation discontinue LDG (Local Discontinuous Galerkin), on presente des elements utilisant des fonctions de base orthogonales permettant de mettre au point une construction de la matrice de masse et un produit matrice-vecteur rapides. Dans le cas des trois formulations, on etudie les proprietes numeriques des elements construits, on verifie que l'on retrouve bien numeriquement la convergence theorique et on compare nos elements avec d'autres elements trouves dans la litterature. Finalement, on presente des experiences numeriques en 3D avec l'equation des ondes ou de Helmholtz, et les equations de Maxwell dans le cas des regimes temporels et harmoniques. On montre ainsi l'efficacite des maillages hybrides par rapport aux maillages purement tetraedriques ou aux maillages hexaedriques obtenus en decoupant chaque tetraedre d'un maillage purement tetraedrique en quatre hexaedres