Les polynômes eulériens stables de type B

We give a multivariate analog of the type B Eulerian polynomial introduced by Brenti. We prove that this multivariate polynomial is stable generalizing Brenti's result that every root of the type B Eulerian polynomial is real. Our proof combines a refinement of the descent statistic for signed permutations with the notion of real stability—a generalization of real-rootedness to polynomials in multiple variables. The key is that our refined multivariate Eulerian polynomials satisfy a recurrence given by a stability-preserving linear operator. Resume. Nous presentons un raffinement multivarie d'un polynome eulerien de type B defini par Brenti. En prouvant que ce polynome est stable nous generalisons un resultat de Brenti selon laquel chaque racine du polynome eulerien de type B est reelle. Notre preuve combine un raffinement de la statistique des descentes pour les permutations signees avec la stabilite—une generalisation de la propriete d'avoir uniquement des racines reelles aux polynomes en plusieurs variables. La connexion est que nos polynomes euleriens raffines satisfont une recurrence donnee par un operateur lineaire qui preserve la stabilite.