Localisation et Concentration de la Marche de Sinai

La marche de Sinai est un modele elementaire de marches aleatoires en milieu aleatoire unidimensionnelle effectuant des sauts unites sur ses plus proches voisins. On impose trois conditions sur le milieu aleatoire : deux hypotheses necessaires pour obtenir un processus recurrent non reduit a un marche aleatoire simple et une hypothese de regularite qui nous permet un bon controle des fluctuations du milieu aleatoire. Le comportement asymptotique de ce processus a ete decouvert par Y. Sinai en 1982 : il montre qu'il est sous diffusif et que pour instant n donne il est localise dans le voisinage d'un point determine du reseau. Ce point est une variable aleatoire dependant uniquement du milieu aleatoire et de n dont la distribution limite a ete determinee par H. Kesten et A. O. Golosov (independamment) en 1986. Une partie de cette these (partie II) a eu pour but de donner une preuve alternative au resultat de Y. Sinai . L'etude detaillee des resultats sur la localisation nous a permis de decouvrir un nouvel aspect du comportement de la marche de Sinai que nous avons appele concentration (partie III de la these). Nous avons montre que celle-ci etait concentree dans un voisinage restreint du point de localisation, c'est-a-dire que pour un intervalle de temps de longueur n la marche de Sinai passe la quasi-totalite de ce temps n dans un voisinage du point de localisation dont la taille est negligeable devant la distance parcourue. Nous avons egalement montre que le temps local de la marche de Sinai au point de localisation normalise par n converge en probabilite vers une variable aleatoire dependant uniquement du milieu et de n. Cette variable aleatoire est l'inverse de la moyenne du temps local dans la vallee ou la marche de Sinai reste prisonniere, en un temps de retour au point de localisation. Les resultats que nous avons obtenus sont de type « trempe », c'est-a-dire que l'on travaille avec un milieu aleatoire appartenant a un sous-espace de probabilite du milieu aleatoire et on montre que ce sous-espace a une probabilite qui tend vers 1. De ces resultats est apparu des consequences naturelles sur le maximum des temps locaux et le lieu favori de la marche de Sinai, notamment nous avons montre que la marche de Sinai et les lieux favoris de cette marche, correctement normalises, ont meme distribution limite.