Asset price bubbles and dynamic super-replication under transaction costs

Die Arbeit gliedert sich in zwei Hauptteile. Der erste Teil ist eine theoretische Untersuchung von Superhedging-Preisen und Finanzblasen in Marktmodellen mit proportionalen Transaktionskosten. Im zweiten Teil entwickeln wir eine Methode des maschinellen Lernens, um den Superhedging-Preis Prozess numerisch zu bestimmen. Fur den ersten Teil betrachten wir ein Finanzmarktmodell mit einem risikolosen und einem riskikobehafteten Vermogenswert unter proportionalen Transaktionskosten auf einem endlichen Zeithorizont T. Wir liefern dynamische Versionen der Superhedging-Theoreme von [85]. Die Theoreme sind unterteilt in eine numeraire-freie Version, die gleichmasig integrierbare Martingale als konsistente Preissysteme verwendet, und eine numeraire-basierte Version, die lokalen Martingalen als konsistente (lokale) Preissysteme entspricht. Die Superhedging-Theoreme garantieren, dass es keine Dualitatslucke zwischen dem ursprunglichen Problem des Superhedgens eines Contingent Claims unter proportionalen Transaktionskosten und dem entsprechenden dualen Problem gibt. Zu diesem Zweck erweitern wir den Begriff der zulassigen Strategien im numeraire-freien und im numeraire-basierten Sinne von Strategien auf [0,T] auf Strategien auf [t,T]. In diesem Zusammenhang zeigen wir auch die Zeitunabhangigkeit der konsistenten (lokalen) Preissysteme in der dualen Formulierung. Inbesondere ist der Superhedging-Preis Prozess wohldefiniert. Unter weiteren Regularitatsannahmen beweisen wir Rechtsstetigkeit des Superhedging-Preis Prozesses. Wir schliesen den ersten Teil mit der Untersuchung von Finanzblasen in dem Marktmodell mit proportionalen Transaktionskosten ab. In Anlehnung an [52] definieren wir den Fundamentalwert F des risikobehafteten Vermogenswertes S als den Preis eines Superhedging Portfolios des Claims X_T=(0,1), das heist der Position, die zu einem Anteil des risikobehafteten Vermogenswertes und Null Bargeld fuhrt. Unter Verwendung der Ergebnisse aus dem ersten Teil erhalten wir eine duale Darstellung des Fundamentalwerts. Der Finanzblasen-Prozess ist definiert als die Differenz aus dem Briefkurs und dem Fundamentalwert. Wir sagen, dass es eine Finanzblase im Marktmodell gibt, wenn die Finanzblase strikt positiv mit positiver Wahrscheinlichkeit fur eine [0,T]-wertige Stoppzeit ist. Die Entstehung einer Finanzblase ist in unserem Modell direkt enthalten. Schlieslich untersuchen wir den Einfluss von proportionalen Transaktionskosten auf die Entstehung und Grose von Finanzblasen. Diese Studie beweist, dass die Einfuhrung von proportionalen Transaktionskosten die Bildung von Finanzblasen teilweise verhindern kann. Im zweiten Teil untersuchen wir eine Approximation basierend auf neuronalen Netzen fur den Superhedging-Preis Prozess eines Contingent Claims in einem Marktmodell in diskreter Zeit von [40]. Die Approximation des Superhedging-Preis Prozesses ist in mehrere Schritte unterteilt. Zunachst beweisen wir, dass der Quantil-Hedging-Preis fur eine gegebene Erfolgswahrscheinlichkeit, siehe [38], gegen den Superhedging-Preis konvergiert. Die Berechnung des Superhedging-Preis Prozesses fur t>0 reduziert sich auf die Approximation des steigenden Prozesses B aus der gleichmasigen Doob-Zerlegung, siehe [40], welcher manchmal auch als Konsumprozess bezeichnet wird. Anschliesend zeigen wir, dass der Quantil-Hedging-Preis durch Long-Short-Term Memory neuronale Netze approximiert werden kann, indem wir die Superhedging-Strategien des Quantil-Hedging-Preises durch neuronale Netze approximieren, siehe [21]. Fur t>0 kann B durch ein essentielles Supremum uber eine Menge von Zufallsvariablen auf der Basis von neuronalen Netzen approximiert werden. Schlieslich prasentieren wir numerische Ergebnisse.