Theorie des valeurs extremes et la tarification de l'excess of loss

Soit x 1 ≤ x 2 , ≤ … ≤ xn—m + 1 ≤… ≤ x n — p +1≤…≤ x n un echantillon ordonne de taille n d'une distribution dont F(x) et T(x) sont respectivement la fonction de repartition et la fonction de densite. Nous appelons x n—m +1 la valeur de rang m de l'echantillon ( x 1 , x 2 ,… x n ). Pour simplifier l'ecriture nous remplacerons partout l'indice n — m + I par m . Avec cette convention nous notons la valeur caracteristique de rang m et l'intensite de rang m respectivement par u m et α m [I]. Par definition on a: Notons enfin par F m (x) et T m (x) la fonction de repartition et la fonction de densite de x m pour n → ∞ et m fixe. 2.1. Avant de resumer les differents points traites dans cette note, rappelons les particularites qui caracterisent la distribution asymptotique de la plus grande valeur x 1 d'un echantillon. On sait que cette distribution existe si et seulement si la fonction de repartition F(x) appartient a un des trois types suivants [2]: a) Type I: F(x) est du type exponentiel . Le domaine de x est illimite vers la droite et F(x) tend vers I pour x → + ∞ au moins aussi rapidement qu'une fonction exponentielle. Tous les moments de F(x) existent. b) Type II: F(x) est du type de Cauchy . Le domaine de x est illiminte vers la droite.