Automorphismes hamiltoniens d'un produit star et opérateurs de Dirac Symplectiques

Cette these est consacree a l'etude de deux sujets de geometrie symplectique inspiresde la physique mathematique. Les themes que nous developperons mettent en evidence certaines connexions avec la topologie symplectique d'une part, la geometrie Riemannienne d'autre part.Dans la partie 1, nous etudions la quantification par deformation formelle d'une variete symplectique, a l'aide de produits star. Nous definissons le groupe des automorphimeshamiltoniens d'un produit star formel. En nous inspirant d'idees de Banyaga, nous identifions ce groupe comme etant le noyau d'un morphisme remarquable sur le groupedes automorphismes du produit star. Nous relions certaines proprietes geometriques de ce groupe d'automorphismes hamiltoniens a la topologie du groupe des diffeomorphismeshamiltoniens.Dans la partie 2, nous etudions les operateurs de Dirac symplectiques. Les ingredientsnecessaires a leur construction (algebre de Weyl, structures $Mp^c$, champs de spineurs symplectiques, connexions symplectiques,...) sont egalement utilises en quantification geometrique et enquantification par deformation formelle. Les operateurs de Dirac symplectiques sont construitsde maniere analogue a l'operateur de Dirac de la geometrie Riemannienne. Une formule de Weitzenbocklie les operateurs de Dirac symplectiques a un operateur elliptique $mathcal{P}$ d'ordre 2. Nous etudionsles noyaux de ces operateurs de Dirac symplectiques et leur lien avec le noyau de P.Sur l'espace hermitien symetrique $CP^n$, nous calculerons le spectre de $mathcal{P}$ et nous prouverons un theoreme de Hodge pour les operateurs de Dirac-Dolbeault symplectiques./In this thesis we study two topics of symplectic geometry inspired from mathematical physics.Part 1 is devoted to the study of deformation quantization of symplectic manifolds. More precisely, we consider formal star products on a symplectic manifold. We define the group of Hamiltonian automorphisms of a formal star product. Following ideas of Banyaga, we describe this group as the kernelof a morphism on the group of automorphisms of the star product. We relate geometric properties of the group of Hamiltonian automorphisms to the topology of the group of Hamiltonian diffeomorphisms. Part 2 is devoted to the study of symplectic Dirac operators. The construction of those operators relies on many concepts used in geometric quantization and formal deformation quantization such as Weyl algebra, $Mp^c$ structures, symplectic spinors, symplectic connections,... The construction of symplectic Dirac operators is analogous to the one of Dirac operators in Riemannian geometry. A Weitzenbock formula relates the symplectic Dirac operators to an elliptic operator $mathcal{P}$ of order 2. We study the kernels of the symplectic Dirac operators and relate them to the kernel of $mathcal{P}$. On the hermitian symmetric space $CP^n$, we compute the spectrum of $mathcal{P}$ and we prove a Hodge theorem for the symplectic Dirac-Dolbeault operator.