Über die Grundzustandsdichte relativistischer Coulomb-Systeme

Diese Dissertation widmet sich den Eigenschaften von Grundzustanden groser, relativistischer Coulomb-Systeme. Ein Beispiel fur ein solches System ist ein neutrales Atom. Diese konnen durch relativistische Vielteilchen-Hamilton-Operatoren beschrieben werden, wie zum Beispiel den Chandrasekhar- oder projizierten Coulomb-Dirac-Operatoren. Atome mit hoher Kernladungszahl weisen zwei besonders interessante Langenskalen auf, die Thomas-Fermi- und die Scott-Langenskala. Auf Ersterer befindet sich der Grosteil der Elektronen, die zur fuhrenden Ordnung der Grundzustandsenergie im Grenzwert groser Teilchenzahlen beitragen. Elektronen, die sich auf der Scott-Skala befinden, sind sehr nahe am Kern lokalisiert und verursachen Quantenkorrekturen der Grundzustandsenergie. Wegen des Heisenbergschen Unscharfeprinzips muss davon ausgegangen werden, dass die Geschwindigkeit dieser Elektronen ein wesentlicher Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ist und die Quantenkorrekturen daher zusatzlich relativistisch korrigiert werden. Das Ziel dieser Arbeit ist das Studium der Einteilchendichte eines Grundzustands auf diesen beiden Langenskalen im Grenzwert groser Teilchenzahlen. Auf der Thomas-Fermi-Langenskala zeigen wir, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands gegen die wasserstoffartige Thomas-Fermi-Dichte konvergiert. Wir zeigen zuerst schwache Konvergenz in den semiklassischen $L^p$-R\"aumen fur den Chandrasekhar- und den Brown--Ravenhall-Operator. In einer gemeinsamen Arbeit mit Heinz Siedentop [125] beweisen wir auserdem die Konvergenz der Dichte in der Coulomb-Norm fur den Chandrasekhar-, den Brown-Ravenhall- und den Furry-Operator. Diese Ergebnisse zeigen, dass sich der Hauptteil der Elektronen eines relativistisch beschriebenen Atoms dennoch nicht-relativistisch verhalt. Auf der Scott-Skala beweisen wir, basierend auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank, Heinz Siedentop und Barry Simon, dass die reskalierte Einteilchendichte eines Grundzustands des Chandrasekhar-Operators schwach gegen die Summe der Quadrate der Eigenfunktionen des entsprechenden Einteilchen-Wasserstoff-Operators konvergiert. Die Konvergenz gilt sowohl fur die gesamte Dichte als auch in jedem festen Drehimpulskanal. Die Klasse der erlaubten Test-Funktionen, fur die diese Konvergenzen gelten, beinhaltet kompakt getragene Funktionen, die integrierbar oder durch ein Vielfaches des Coulomb-Potentials beschrankt sind. Dies bestatigt die von Lieb [115] geauserte, sogenannte starke Scott-Vermutung fur relativistische Coulomb-Systeme und zeigt insbesondere, dass kernnahe Elektronen relativistische Korrekturen erzeugen. Als Nebenprodukt erhalten wir auserdem eine punktweise obere Schranke an die relativistische Wasserstoff-Dichte, welche im Einklang mit dem asymptotischen Verhalten der nicht-relativistischen Wasserstoff-Dichte fur grose Abstande zum Kern steht. Im Anschlus illustrieren wir, wie diese Ergebnisse auf den Furry-Operator verallgemeinert werden konnen. Ein wichtiges Werkzeug fur den Beweis der starken Scott-Vermutung basiert auf einer Zusammenarbeit mit Rupert L. Frank und Heinz Siedentop [66]. Wir betrachten den fraktionalen Laplace-Operator mit Hardy-Potential und kritischer oder subkritischer Kopplungskonstante. Es wird gezeigt, dass die $L^2$-Normen, die durch Potenzen dieses Operators erzeugt werden, zu den $L^2$-Normen, die durch Potenzen des fraktionalen Laplace-Operators erzeugt werden, aquivalent sind. Daruberhinaus erhalten wir verallgemeinerte und umgekehrte Hardy-Ungleichungen. Eine Verallgemeinerung auf $L^p$ ist m\"oglich, wenn ein Mikhlin-Multiplikator-Satz fur den verallgemeinerten Hardy-Operator bewiesen werden kann, was bisher nur fur positive Kopplungskonstanten gelungen ist. Dies ist eine Verallgemeinerung des Ergebnisses fur den gewohnlichen, nicht-fraktionalen Hardy-Operator von Killip u. a. [102].