Ondes périodiques dans des systèmes d’ÉDP hamiltoniens : stabilité, modulations et chocs dispersifs

La premiere partie de cette these concerne l'etude du probleme de Cauchy pour l'equation de KdV quasi-lineaire.On etablit un theoreme d'existence locale obtenu grâce a des proprietes structurelles et des techniques de jauge qui permettent de compenser les pertes de derivees apparentes dans les estimations a priori.Dans la seconde partie, les proprietes de stabilite orbitale co-periodique et modulationnelle sont explorees numeriquement en exploitant des criteres algebriques tous etablis a partir d'une meme integrale d'action et de ses derivees secondes. Notre methode utilise des quadratures numeriques suivies de differences finies afin de calculer la matrice hessienne de l'integrale d'action. Le comportement asymptotique de cette matrice nous pousse a preter beaucoup d'attention a l'etude des ondes de grande periode ou de faible amplitude. Les resultats numeriquespresentes fournissent de nombreuses informations en lien avec des questions ouvertes.On effectue egalement des simulations directes sur le systeme d' EDP original pour etudier a la fois le comportement des ondes periodiques sous differents types de perturbations, et les solutions de problemes de Cauchy avec donnee initiale discontinue. Pour ces derniers, on s'attend a observer des chocs dispersifs, dont la comprehension est basee sur le probleme de Gurevich-Pitaevskii, ou les equations modulees a la Whitham sont utilisees pour approcher la zone oscillante des chocs. On compare des simulations directes aux solutions ideales du probleme de Gurevich-Pitaevskii, en commencant par la celebre equation de KdV