Algèbres amassées associées aux variétés de Richardson ouvertes : un algorithme de calcul de graines initiales

Les algebres amassees sont des anneaux commutatifs integres avec une structure combinatoire particuliere.Cette structure consiste en la donnee d’une famille de graines, liees entre elles par une operation appelee mutation.Chaque graine est composee de deux parties : un amas et un carquois.Les varietes de Richardson ouvertes sont des strates de la variete de drapeaux associee a un groupe lineairealgebrique de type simplement lace. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement a deux sous-groupes de Borel opposes. Dans [Lec16], une sous-algebre amassee de rang maximal sur l’anneau de coordonneesd’une variete de Richardson ouverte a ete construite et cette sous-algebre est conjecturee etre egale a l’anneauentier. La construction de cette algebre amassee provient d’une categorie de Frobenius C v,w de modules surl’algebre preprojective, definie comme intersection de deux categories C w et C v deja etudiees par Geiss, Leclerc,Schroer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algebres amassees et les structures amassees est donnepar le caractere d’amas defini dans [GLS06].Dans cette these, nous construisons un algorithme qui, etant donne les parametres definissant une variete deRichardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la categorie de Frobenius associee et soncarquois. Cet algorithme a pour donnee de depart la graine initiale pour la structure amassee sur C w definiepar un representant w d’un element w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations determineecombinatoirement, on obtient a partir de la graine initiale un module rigide maximal de C w qui, a suppressionde certains facteurs directs pres, est un module rigide maximal de C v,w . De plus le sous-carquois du carquoismute est exactement le carquois de l’algebre d’endomorphisme du module rigide maximal de C v,w donnant alorsla description complete d’une graine initiale pour la structure amassee de C v,w .