Sparse Modeling Heuristics for Parameter Estimation - Applications in Statistical Signal Processing

Popular Abstract in Swedish Den har avhandlingen studerar olika statistiska metoder for att utvinna information som ligger dold i en serie av tal eller andra symboler, exempelvis bokstaver. En sadan serie kan innehalla slumpmassighet eller ha vissa matbara statistiska egenskaper, men har aven ett inneboende monster, vilket vi ar intresserade av. Vi kallar vanligtvis sadana serier for signaler, och de kan representera till exempel data eller ljud som skickas over en telekommunikationskanal, manniskans DNA-kod, det som mats genom en radar, eller en inspelning av musik. Gemensamt for dessa signaler ar att man kan utforma modeller som beskriver signalens beteende, och kan pa sa satt extrahera den intressanta informationen. Denna kan man till exempel anvanda for att prediktera hur annu okanda delar av signalen kan bete sig, sasom i vaderprognoser. Informationen kan aven anvandas for att bevisa eller motbevisa olika hypoteser, som att avgora huruvida ett forhojt blodsockervarde ar friskt eller ej. Avhandlingen behandlar huvudsakligen parametriska modeller, vilket innebar att den matematiska modellen innehaller parametervarden som beskriver signalens beteende. Att finna dessa parametrar, eller att skatta dem som det heter inom statistiken, ar en forutsattning for att besvara de relevanta fragestallningarna. Ett exempel pa en parametrisk modell ar den for pianostrangen, dar man vanligtvis enbart soker parametern for grundfrekvensen genom att titta pa dess harmoniska frekvensinnehall. Att darmed utelamna klang och andra musikaliska egenskaper ar forstas en grov forenkling av verkligheten, men en modell utformas ofta for att endast besvara de fragestallningar man faktiskt stallt - varken mer eller mindre. I exemplet med pianostrangen kan detta motsvara att man vill veta vilka noter som spelats i en melodi, eller dess rytm. Parameteriska modeller har en lang tradition inom matematisk statistik och signalbehandling och tillampas flitigt inom en rad olika ingenjorsomraden - med goda praktiska och teoretiska resultat. Avhandlingen ar avgransad till metoder som behandlar ett vanligt forekommande problem med parametriska modeller - deras brist pa flexibilitet. Detta kan illustreras till exempel genom att aterga till exemplet med pianostrangen. Vad hander om man vill finna de noter som ett piano spelar i ett musikstycke, ifall inspelningen aven innehaller en violin som spelar andra noter? Om modellen inte antar att signalen bestar av tva instrument, blir oftast resultatet helt felaktigt. Antingen sa valjs den ton som spelas starkast, vilket inte nodvandigtvis ar pianot, eller sa valjs ett mellanting mellan de bada tonerna, vilken varken motsvarar pianot eller violinen. Denna problematik, alltsa hur man skattar parametrar nar man inte vet hur manga komponenter som finns i signalen, ar avhandlingens huvudtema. Dess olika kapitel avser olika tillampningar, dar vi skattar grundtoner i harmoniska (och nastan harmoniska) ljudsignaler, lokaliserar olika ljudkallors position, hittar dolda repetitioner i sekvenser av symboler och bestammer parametrarna for flerdimensionella dampade svangningar, vilka man finner inom exempelvis den medicinska tekniken. I samtliga fall beskriver modellen signalen val, men endast under forutsattning att man vet exakt hur manga komponenter den bestar av. Metoderna som utvecklas i avhandlingen bygger pa relativt nya matematiska insikter om vilka ekvationssystem som kan losas, specifikt nar ekvationssystem har losningar dar de flesta okanda variablerna ar exakt lika med noll, da man sager att losningen ar gles eller ”sparse”. Detta innebar ofta att man maste gora ytterligare forenklingar for att det skall ga att losa ekvationerna. Ett satt att gora detta ar att anvanda ett stort ekvationssystem dar varje potentiell komponent av signalen, varje sa kallad kandidat, far sin egen variabel. Nar de olika kandidaterna i nagon mening ar olika varandra, kommer en numerisk losningsmetod att automatisk valja vilka kandidater som ar lampliga, vilket da ger antal komponenter tillsammans med kandidaternas respektive parametrar. Att uttrycka den parametriska modellen som ett ekvationssystem av kandidater kan goras pa flera satt och beroende pa hur man gor kan resultaten bli valdigt olika. I avhandlingen behandlas darfor detta specifikt for varje tillampning. Genom att matematiskt analysera modellen har vi hittat strukturer som tillater komponenterna i ekvationssystemet att vara tillrackligt olika. I de tva artiklarna om att skatta grundfrekvenser i ljud och om att lokalisera ljud visar vi att man kan fa battre resultat genom att gruppera signalens komponenter i harmoniska strukturer. Detta innebar att man later varje kandidat motsvara en sadan grupp och lata losningsmetodiken valja lampliga kandidater, under premissen att dessa skall vara fa. Resultaten ar lovande och i flera fall har vi kunnat visa att forenklingarna inte leder till samre skattningar an da man vetat exakt antal komponenter i signalen. Eftersom den uppmatta signalen ofta genererar mycket stora datamangder har vi aven utvecklat berakningseffektiv losningsmetodik da standardlosningarna skulle bli alldeles for tidskravande. (Less)