Spin gap in doped ladder systems

A proper theoretical description of doped antiferromagnets is until now an unresolved issue. In this work we study chain and ladder systems, and in particularly we focus on the physically most interesting two leg ladder. Our starting point is the Spin Fermion model in which an antiferromagnetic background of localized spins interacts with mobile holes via a rotation invariant Kondo-like term. The interesting region of the phase diagram is that close to the Mott-insulator transition where the doping delta is zero. At zero doping in fact the system is an insulator and the spins organize themselves in a spin liquid, a rotational invariant state characterized by a finite correlation length and an energy gap (a spin gap) above the ground state. Such a state is also the ground state of a field theory, the non linear sigma model (NLsigmaM) which is recognized as the low energy effective theory for antiferromagnetic spin ladder. The first question we answer is how such a spin state evolves as one moves off from the Mott phase by increasing the doping. Integrating out the fermions in our model we obtain an effective theory for the spins which we are able to evaluate in the continuum limit. The effective theory is again a NLsigmaM with coupling constants which depend on the concentration of dopant holes. In contrast to existing mean field calculation our theory predicts a lowering of the spin gap with doping and a consequent increase in the correlation length. Indeed a lowering of the spin gap due to doping is also observed in numerical simulation and on NMR experiments on $Sr14-xCaxCu24O41 with which we obtain very good agreement. Secondly we concentrated on the behavior of the fermions. The general paradigm of interacting fermions in one dimension is that of the Luttinger Liquid characterized by bosonic excitations and spin charge separation. By generalizing our approach we are able to access the one particle fermion propagator as a quantity averaged over the NLsigmaM which controls the spin background. We see that in the limit of zero doping the quasiparticle weight Z is non-zero in a neighborhood of the Fermi energy. This in turn implies that the Luttinger liquid parameter Krho goes to one as the doping delta goes to zero as was first argued by Schulz. Our stronger result allows us to assert that in the very low doping regime the fermions constitute a Fermi liquid. Ende der sechziger Jahre dachten die meisten Festkorpertheoretiker, das mit den Erfolgen der Landau Fermiflussigkeitstheorie (1956) [landau57a,la ndau57b,landau59] und der BCS Theorie der Supraleitung (1957) [cooper56,BCS57] ihre Forschung auf einem soliden Fundament gebaut sei. Erst zwanzig Jahre spater wurde mit der Entdeckung der Hochtemperatursupraleitung (1986) [bed-mull], den Schwerfermion-Systemen (um 1980) [hewson93] und dem Quantenhallefekt (Anfang 80er Jahre) [klitzing80,laughlin83] offensichtlich, dass grundlegend neue Theorien benotigt wurden. Schnell wurde klar, dass die neuen Systeme eine gemeinsame Eigenschaft besitzen, namlich dass durch verminderte Dimensionalitat oder durch starke elektronische Wechselwirkung die Bewegungsfreiheit der Elektronen stark beeintrachtigt wird. Infolge einer reduzierten Beweglichkeit ergeben sich dann komplizierte Korrelationen in der Statik und Dynamik der Elektronen. Daher auch der Name 'Stark korrelierte Elektronensysteme' der synomym fur all die oben genannten neuen Syteme steht. Typisch fur die wechselseitige Beziehung von Dimensionalitat und elektronischen Korrelationen ist das Versagen der Landau Fermiflussigkeitstheorie (FFT) bei abnehmender Dimensionalitat. In der Fermiflussigkeitstheorie wird postuliert, dass das niederenergetische Spektrum des wechselwirkenden Systems eins zu eins mit dem eines freien Fermigases korrespondiert. Da sich die Quasiteilchen, die im wechselwirkenden System die niedrigsten kollektiven Anregungen beschreiben, genau wie freie Elektronen verhalten, ist die ganze FFT im wesentlichen eine freie Theorie. Ursprunglich wurde die FFT zur Beschreibung von 3He entwickelt. Es folgten Erweiterungen, um Elektronen in Metallen und Atomkernen zu beschreiben. Solche Rechnungen wurden mit grosem Erfolg bei vielen Metallen mit dreidimensionaler Struktur angewandt, wobei naturlich eine tiefe Temperatur Voraussetztung ist. Bei den eher zweidimensionalen Kuprat-Supraleitern wurden die anormalen Eigenschaften des (nicht supraleitenden) Normalzustands (siehe [dagotto94]) von vielen Forschern in Zusammenhang mit Nicht-Fermiflusigkeits-Verhalten gebracht, was zu einer Suche nach alternativen Theorien Anlas gab. Andererseits ist der FF-Zustand auch in zwei Dimensionen noch robust und kann nur unter besonderen Bedingungen, so z.B. einer langreichweitigen Wechselwirkung, Singularitaten im freien Propagator oder sehr starker Kopplung zerstort werden [shankar94]. Unter solchen Umstanden spricht man dann von einer Nicht-Fermiflussigkeit (NFF) oder einer ''marginalen''-Fermiflussigkeit (MFF). Im Gegensatz zu den vielen Fragezeichen, die es heute noch bei zweidimensionalen Fermionen gibt, sind die eindimensionalen Systeme sehr gut verstanden. Insbesondere ist schon lange bekannt, dass das Fermiflussigkeitsbild in einer Dimension zusammenbricht. Der Grund sind die Quantenfluktuationen, die in einer Dimension so stark sind, dass jede noch so kleine Wechselwirkung das Fermigas in einen vollstandig anderen Zustand, namlich in eine sogenannte Luttingerflussigkeit (LF) treibt (siehe die Originalarbeit [luttinger63] und den Ubersichtsartikel [voit94]). Dieser neuartige Zustand ist durch das ganzliche Fehlen von fermionischen Quasiteilchen (Tomonaga hatte als erster schon 1950 die bosonischen Anregungen in den eindimensionalen Systemen beschrieben [tomonaga50]) charakterisiert. Anders ausgedruckt verschwindet die Renormierung der Quasiteilchen Z, vollstandig und zugleich wird eine Trennung von Spin-und Ladungsfreiheitsgraden beobachtet. In der Luttingerflussigkeit findet man dann ausschlieslich bosonische Anregungen, entweder mit Ladungs- (Ladungsdichtewelle) oder Spin-Charakter (Spindichtewelle). Aufgrund dieser Eigenschaften sind die eindimensionalen Systeme ideal geeignet, neue Theorien (wie z.B. verschiedene Formen einer NFF) fur stark korrelierte Systeme zu erproben. Tatsachlich gibt es fur die eindimensionalen Systeme viele leistungsstarke Rechenmethoden, die in mehr Dimensionen nicht zur Verfugung stehen. An wichtigster Stelle sei hier der Bethe Ansatz erwahnt, der fur spezielle Modelle und besonderen Kopplungsstarken exakte Ergebnisse liefert. Desweiteren waren es die Bosonisierungsmethoden, die dem Konzept der Luttingerflussigkeit sicheren Boden verschafft haben. In einer Dimension sind auch numerische Simulationen sehr erfolgreich (verglichen mit Simulationen in mehreren Dimensionen) und grose Systeme konnen bei tiefer Temperatur untersucht werden.