Accuracy of the Transmission Coefficient across Parabolic Barriers as Obtained from a Generalized WKB Approach

A comparison is carried out in the case of parabolic potential barriers between the transmission coefficient T obtained from the solution of Schrodinger's equation and the approximate transmission coefficient T(WKB) which is derived from a generalised WKB approach. It is shown that T(WKB) is the first term of the asymptotic expansion of T in powers of 1/X2, with X2 ∼ sUB, where s is the width of the barrier and UB is the barrier height. Expressions are obtained which give an upper limit /T(WKB) of the relative error which occurs when using T(WKB) instead of T for the transmission coefficient. It is seen that in most practical cases this error is fairly small. On compare dans le cas des barrieres paraboliques le coefficient de transmission T deduit de la solution de l'equation de Schrodinger avec le coefficient approche T(WKB) obtenu a partir de la methode WKB generalisee. On montre que T(WKB) est le premier terme du developpement asymptotique de T en fonction des puissances de 1/X2, avec X2 ∼ sUB, ou s est le largeur de la barriere et UB sa hauteur. On donne des expressions d'une limite superieure /T(WKB) de l'erreur relative qui resulte lorsqu'on utilise T(WKB) au lieu de T pourle coefficient de transmission. On voit que dans la plupart des cas pratiques cette erreur est assez faible.