Calcul moulien et théorie des formes normales classiques et renormalisées

La premiere partie de cette these presente le cadre des equations differen- tielles a retard. Ces equations apparaissent notamment dans des modelisations de phenomenes physiques (calcul de marees) et physiologiques. La recherche de forme normale d'equation differentielle a retard est rendue difficile du fait de la dimension infinie de l'espace des conditions initiales. On presente une methode de calcul due a T. Faria qui permet de reduire cette difficulte en utilisant des varietes centrales de dimension finie, sur lesquelles on peut faire un calcul de forme normale « classique ». On etend ensuite ce resultat a l'aide d'une methode de G. Gaeta permettant la renormalisation de formes normales usuelles, pour des equations differentielles ordinaires. En utilisant ces deux methodes, on demontre un theoreme donnant l'existence d'une forme renormalisee d'equation differentielle a retard. Dans une deuxieme partie, on presente et on etudie le formalisme moulien developpe par Jean Ecalle. On utilise ce formalisme pour la recherche de formes normales de champs de vecteurs, et on l'applique a des champs hamiltoniens en coordonnees cartesiennes, puis en coordonnees action-angle. On obtient ainsi une nouvelle demonstration de la version formelle du theoreme de Kolmogorov et du theoreme de Birkhoff. On presente egalement une feuille de calcul avec Maple mettant en œuvre certains de ces calculs, et temoignant ainsi de la remarquable aptitude du formalisme moulien a etre utilise dans les logiciels de calcul formel.