Modellierung und Numerik zeitharmonischer Wirbelstromprobleme in 3D

Diese Arbeit beschaftigt sich mit der numerischen Losung zeitharmonischer Wirbelstromprobleme in 3D und Aspekten der mathematischen Modellierung. Ziel ist sowohl die Entwicklung eines effizienten Finite-Element-Codes unter Verwendung adaptiver Mehrgitterverfahren als auch die Entwicklung einer Randelementmethode fur Impedanzrandbedingungen. Das zugrundeliegende Wirbelstrommodell ist eine Naherung der Maxwellschen Gleichungen und beschreibt niederfrequente elektromagnetische Phanomene, bei denen die magnetische Energie dominiert. Innerhalb der Arbeit wird eine Schranke fur den Modellierungsfehler des Wirbelstrommodells hergeleitet. Aus der Fehlerbetrachtung folgt, das die in der Ingenieurliteratur anerkannten Bedingungen (charakteristische Grose 0 konvergiert, falls ausschliesslich induzierte Wirbelstrome existieren, ansonsten konvergiert der Fehler nur mit O(f). Weiterhin wird eine systematische Studie durchgefuhrt, wie externe Strom- und Spannungsquellen im Wirbelstrommodell berucksichtigt werden konnen. Dabei wird zwischen lokalen Anregungen an Kontakten, vorgegebenen Generatorstromverteilungen und nicht-lokalen Varianten unterschieden. Es wird gezeigt, das letztere das Faradaysche Gesetz entlang von sogenannten Seifert-Flachen verletzen und keine Losung fur das elektrische Feld in H(rot) zulassen. Eine physikalische Interpretation wird gegeben. Der Schwerpunkt der Arbeit liegt in der Entwicklung einer adaptiven Finite-Element-Software, die auf der Simulationsumgebung UG aufbaut. Als Grundlage dient eine auf dem elektrischen Feld basierende, sogenannte "ungeeichte" Variationsformulierung. Die Losung ist bei Anwesenheit nichtleitender Gebietsteile nicht eindeutig und reprasentiert fur diesen Fall eine Aquivalenzklasse von elektrischen Feldern, die alle auf dasselbe Magnetfeld fuhren, wobei letzteres die im Wirbelstrommodell relevante Grose darstellt. Zur Diskretisierung werden Whitney-Elemente verwendet. Die Berechnung erfolgt adaptiv mit Hilfe eines "Rot/Grun-Verfeinerungsalgorithmus" und eines residuenbasierten Fehlerschatzers. Zur Losung der entstehenden Gleichungssysteme kommen Mehrgitterverfahren zum Einsatz. Diese besitzen eine optimale Komplexitat und sind die derzeit schnellsten Losungsverfahren. Dabei wird ein von R. Hiptmair entwickeltes Glattungsverfahren verwendet. Obwohl der (komplexe) zeitharmonische Fall bisher nicht von der Mehrgittertheorie abgedeckt wird, belegen die in der Arbeit durchgefuhrten numerischen Experimente, das die Konvergenzraten des Mehrgitterverfahrens unabhangig von der Gitterweite gleichmasig von Eins weg beschrankt sind. Aufgrund der Adaptivitat wurde das Mehrgitterverfahren als lokales Mehrgitterverfahren implementiert, bei dem die Glattung sich auf verfeinerte Bereiche beschrankt. Dies ist notwendig, um auch im adaptiven Fall optimale Komplexitat des Verfahrens zu gewahrleisten. Implementiert wird das lokale Mehrgitterverfahren mit Hilfe von lokalen Gittern, die i.a. nicht das ganze Gebiet uberdecken. Es wird gezeigt, das das verwendete Glattungsverfahren gegenuber dem Standardfall erweiterte lokale Gitter erfordert. Die Losbarkeit des singularen Gleichungssystems wird durch eine angemessene Berechnung der Stromquellen sichergestellt. Um die Kernanteile wahrend des Losungsprozesses zu kontrollieren, wird eine angenaherte Projektion auf die diskret divergenzfreien Felder eingesetzt. Das Gesamtverfahren wird auf realistische Problemstellungen angewendet. Fur Wirbelstromprobleme, die auf sehr geringe Eindringtiefen fuhren, wird eine Randelementmethode realisiert. Hier wird der Einflus des leitfahigen Gebietes durch Impedanzrandbedingungen reprasentiert. Daraus resultiert die Losung einer Ausenraumaufgabe statt eines Transmissionsproblems. Es wird eine auf dem Magnetfeld basierende Formulierung des Wirbelstrommodells verwendet und gezeigt, wie sich das Problem als eine skalare Integrodifferentialgleichung auf dem Rand des Leiters umformulieren last. Existenz und Eindeutigkeit werden bewiesen; ein Galerkin-Verfahren mit stetigen, stuckweise linearen Randelementen wird zur Diskretisierung verwendet. Eine Fehlerabschatzung fuhrt auf eine O(h^(5/2))-Konvergenz der Ohmschen Verluste. Das Ergebnis wird anhand eines numerischen Beispiels bestatigt. Anschliesend werden die Grenzfalle unendlicher Leitfahigkeit und unendlicher Permeabilitat betrachtet.