Méthodes variationnelles d'ensemble et optimisation variationnellepour les géosciences

L'assimilation de donnees consiste a calculer une estimation de l'etat d'un systeme physique. Cette estimation doit alors combiner de facon optimale des observations entachees d'erreurs de mesure et des modeles numeriques imparfaits permettant de simuler le systeme physique. En pratique, l'assimilation de donnees sert a estimer l'etat initial d'un systeme dynamique. Cet etat analyse peut ensuite etre utilise pour prevoir le comportement de ce systeme, notamment dans les systemes geophysiques ou les jeux de donnees sont consequents. Une premiere approche repose sur une estimation de l'etat initial basee sur le principe du maximum a posteriori. Il s'agit alors de resoudre un probleme d'optimisation, souvent par des techniques utilisant le gradient des operateurs. Cette approche, appelee 4DVar, necessite le calcul de l'adjoint du modele et de l'operateur d'observation, ce qui est une tâche consommatrice en temps de developpement des systemes de prevision. Une seconde approche permettant de resoudre sequentiellement le probleme d'assimilation est basee sur les techniques dites « d'ensemble ». Ici, des perturbations a priori de l'etat du systeme permettent d'estimer des statistiques. Ces moments sont alors utilises dans les formules de Kalman pour obtenir des approximations de l'etat du systeme a posteriori. Ces deux approches ont ete recemment combinees avec succes dans les methodes de type EnVar aujourd'hui utilisees dans les systemes operationnels de prevision. Elles beneficient donc d'une gestion efficace de la non linearite au travers des methodes d'optimisation variationnelle et permettent l'estimation de statistiques et de derivees a l'aide des ensembles. L'IEnKS est un archetype de ces methodes EnVar. Pour combiner les deux approches precedentes, il utilise une fenetre d'assimilation qui est translatee entre chaque cycle. Differents parametrages de la fenetre d'assimilation conduisent a differentes strategies d'assimilation non equivalentes lorsque la dynamique du systeme est non lineaire. En particulier, les longues fenetres d'assimilation reduisent la frequence de l'approximation Gaussienne des densites a priori. Il en resulte une amelioration des performances jusqu'a un certain point. Au dela, la complexite structurelle de la fonction de cout met l'analyse variationnelle en defaut. Une solution nommee “quasi statique variational assimilation” (QSVA) permet d'attenuer ces problemes en ajoutant graduellement les observations a la fonction de cout du 4DVar. Le second chapitre de these generalise cette technique aux methodes EnVar et s'interesse plus precisement aux aspects theoriques et numeriques du QSVA appliques a l'IEnKS. Cependant, l'interet du QSVA repose sur la perfection du modele pour simuler l'evolution de l'etat. En effet, la pertinence d'une observation temporellement eloignee pour estimer l'etat peut etre remise en cause en presence d'erreur modele. Le troisieme chapitre est consacre a l'introduction d'erreur modele au sein de l'IEnKS. Il y sera donc construit l'IEnKS-Q, une methode 4D variationnelle d'ensemble resolvant sequentiellement le probleme de lissage en presence d'erreur modele. Malheureusement, en presence d'erreur modele, une trajectoire n'est plus determinee par son etat initial. Le nombre de parametres necessaires a la caracterisation de ses statistiques augmente alors avec la longueur de la fenetre d'assimilation. Lorsque ce nombre va de pair avec le nombre d'evaluations du modele, les consequences pour le temps de calcul sont catastrophiques. La solution proposee est alors de decoupler ces quantites avec une decomposition des matrices d'anomalies. Dans ce cas, l'IEnKS-Q n'est pas plus couteux que l'IEnKS en nombre d'evaluations du modele.