Analysis and waveform relaxation for a differential-algebraic electrical circuit model

Die Hauptthemen dieser Arbeit sind einerseits eine tiefgehende Analyse von nichtlinearen differential-algebraischen Gleichungen (DAEs) vom Index 2, die aus der modifizierten Knotenanalyse (MNA) von elektrischen Schaltkreisen hervorgehen, und andererseits die Entwicklung von Konvergenzkriterien fur Waveform Relaxationsmethoden zum Losen gekoppelter Probleme. Ein Schwerpunkt in beiden genannten Themen ist die Beziehung zwischen der Topologie eines Schaltkreises und mathematischen Eigenschaften der zugehorigen DAE. Der Analyse-Teil umfasst eine detaillierte Beschreibung einer Normalform fur Schaltkreis DAEs vom Index 2 und Abschatzungen, die fur die Sensitivitat des Schaltkreises bezuglich seiner Input-Quellen folgen. Es wird gezeigt, wie diese Abschatzungen wesentlich von der topologischen Position der Input-Quellen im Schaltkreis abhangen. Die zunehmend komplexen Schaltkreise in technologischen Geraten erfordern oftmals eine Modellierung als gekoppeltes System. Waveform relaxation (WR) empfiehlt sich zur Losung solch gekoppelter Probleme, da sie auf die Subprobleme angepasste Losungsmethoden und Schrittweiten ermoglicht. Es ist bekannt, dass WR zwar bei Anwendung auf gewohnliche Differentialgleichungen konvergiert, falls diese eine Lipschitz-Bedingung erfullen, selbiges jedoch bei DAEs nicht ohne Hinzunahme eines Kontraktivitatskriteriums sichergestellt werden kann. Wir beschreiben allgemeine Konvergenzkriterien fur WR auf DAEs vom Index 2. Fur den Fall von Schaltkreisen, die entweder mit anderen Schaltkreisen oder mit elektromagnetischen Feldern verkoppelt sind, leiten wir auserdem hinreichende topologische Konvergenzkriterien her, die anhand von Beispielen veranschaulicht werden. Weiterhin werden die Konvergenzraten des Jacobi WR Verfahrens und des Gauss-Seidel WR Verfahrens verglichen. Simulationen von einfachen Beispielsystemen zeigen drastische Unterschiede des WR-Konvergenzverhaltens, abhangig davon, ob die Konvergenzbedingungen erfullt sind oder nicht.%%%%The main topics of this thesis are firstly a thorough analysis of nonlinear differential-algebraic equations (DAEs) of index 2 which arise from the modified nodal analysis (MNA) for electrical circuits and secondly the derivation of convergence criteria for waveform relaxation (WR) methods on coupled problems. In both topics, a particular focus is put on the relations between a circuit's topology and the mathematical properties of the corresponding DAE. The analysis encompasses a detailed description of a normal form for circuit DAEs of index 2 and consequences for the sensitivity of the circuit with respect to its input source terms. More precisely, we provide bounds which describe how strongly changes in the input sources of the circuit affect its behaviour. Crucial constants in these bounds are determined in terms of the topological position of the input sources in the circuit. The increasingly complex electrical circuits in technological devices often call for coupled systems modelling. Allowing for each subsystem to be solved by dedicated…