Calcul sur les fonctions automorphes

Dans cette these, nous rappelons les grandes lignes de la geometrie de riemann, appliquee au demi-plan de poincare. Cette etude est orientee dans l'optique de caracteriser les fonctions propres de l'operateur de laplace-beltrami applique au domaine fondamental associe au groupe modulaire. Nous exposons ensuite une nouvelle methode d'obtention des valeurs propres et surtout des fonctions propres de cet operateur: la methode des elements finis. Les resultats obtenus presentent une erreur relative proche du 1/100eme pour les valeurs propres calculees. De plus, cette methode permet une estimation des fonctions propres avec une erreur relative de meme grandeur. Le deuxieme avantage est un faible cout de temps de calcul (de l'ordre de 30 mn sur un apollo 98754a de chez hewlett-packard pour 30 valeurs propres et fonctions propres). Pour le probleme impair, les resultats prouvent egalement l'impossibilite de classer les valeurs propres relatives au domaine a partir des modes des valeurs propres relatives au rectangle infini 0x1/2, 1y. La resolution du probleme fait apparaitre des valeurs propres pirates difficiles a deceler