Stratégies optimales d'investissement et de consommation pour des marchés financiers de type"spread"

Dans cette these, on etudie le probleme de la consommation et de l’investissement pour le marche financier de "spread" (difference entre deux actifs) defini par le processus Ornstein-Uhlenbeck (OU). Ce manuscrit se compose de sept chapitres. Le chapitre 1 presente une revue generale de la litterature et un bref resume des principaux resultats obtenus dans cetravail ou differentes fonctions d’utilite sont considerees. Dans le chapitre 2, on etudie la strategie optimale de consommation / investissement pour les fonctions puissances d’utilite pour un intervalle de temps reduit a 0 < t < T < T0. Dans ce chapitre, nous etudions l’equation de Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) par la methode de Feynman - Kac (FK). L’approximation numerique de la solution de l’equation de HJB est etudiee et le taux de convergence est etabli. Il s’avere que dans ce cas, le taux de convergencedu schema numerique est super–geometrique, c’est-a-dire plus rapide que tous ceux geometriques. Les principaux theoremes sont enonces et des preuves de l’existence et de l’unicite de la solution sont donnees. Un theoreme de verification special pour ce cas des fonctions puissances est montre. Le chapitre 3 etend notre approche au chapitre precedent a la strategie de consommation/investissement optimale pour tout intervalle de temps pour les fonctions puissances d’utilite ou l’exposant γ doit etre inferieur a 1/4. Dans le chapitre 4, on resout le probleme optimal de consommation/investissement pour les fonctions logarithmiques d’utilite dans le cadre du processus OU multidimensionnel en se basant sur la methode de programmation dynamique stochastique. En outre, on montre un theoreme de verification special pour ce cas. Le theoreme d’existence et d’unicite pour la solution classique de l’equation de HJB sous forme explicite est egalement demontre. En consequence, les strategies financieres optimales sont construites. Quelques exemples sont donnes pour les cas scalaires et pour les cas multivaries a volatilite diagonale. Le modele de volatilite stochastique est considere dans le chapitre 5 comme une extension du chapitre precedent des fonctions logarithmiques d’utilite. Le chapitre 6 propose des resultats et des theoremes auxiliaires necessaires au travail.Le chapitre 7 fournit des simulations numeriques pour les fonctions puissances et logarithmiques d’utilite. La valeur du point fixe h de l’application de FK pour les fonctions puissances d’utilite est presentee. Nous comparons les strategies optimales pour differents parametres a travers des simulations numeriques. La valeur du portefeuille pour les fonctions logarithmiques d’utilite est egalement obtenue. Enfin, nous concluons nos travaux et presentons nos perspectives dans le chapitre 8.