Courbe d'une fraction rationnelle et courbes de Bézier à points massiques

La modelisation de courbes ou d'arcs de courbe par des courbes de Bezier, qui peut etre vu comme un simple changement de base pour les courbes polynomiales, est moins evidente pour les courbes rationnelles. En effet, les courbes rationnelles ne se sont pas completement capturees par le modele classique des courbes de Bezier rationnelles a points ponderes de controle (i.e. les poids sont strictement positifs comme dans les NURBS), il est necessaire d'introduire les courbes de Bezier rationnelles a points massiques de controle (i.e. les poids peuvent etre nuls ou negatifs). La courbe representative C f d'une fraction rationnelle f est generalement constituee de plusieurs branches (composantes connexes de la courbe). Dans cet article, nous montrons comment chaque branche est modelisee par une courbe de Bezier rationnelle a points massiques de controle. Pour ces courbes, la difficulte est de pouvoir modeliser les asymptotes. Cette difficulte est resolue en utilisant un vecteur (i.e. un point massique de poids nul) qui donne la direction de cette asymptote et un point pondere (i.e. un point massique de poids non nul) qui fixe la position de cette asymptote. Pour determiner les courbes de Bezier rationnelles (a points massiques de controle) modelisant chaque branche de la courbe representative C f d'une fraction rationnelle f = P Q ou P et Q sont des polynomes dependant de la variable x, la methode proposee commence par determiner la courbe de Bezier ration-nelle representant C f sur [0; 1], puis determine, pour chaque composante connexe, la courbe de Bezier rationnelle en decoupant la droite reelle R en intervalles ou les extremites sont les racines de Q(x) auxquelles sont ajoutees −∞ et +∞. Les points massiques de controle sont alors determines par un changement de parametre homographique qui envoie l'intervalle [0; 1] sur l'un des intervalles precites.