Interpolation mit Polynomen

Gegeben sei eine Tabelle (x k , y k )(k = 1,…,n) mit gegebenen Abszissen x k und Ordinaten y k Gesucht ist ein Polynom p moglichst niedrigen Grades derart, das dieses die gegebenen Daten interpoliert, das also $$p({x_i}) = {y_i}(i = 1, \ldots ,n)$$ (2.1) gilt. Wahlen wir fur das Polynom p den Potenzreihenansatz $$p(x) = {a_1} + {a_2}x + {a_3}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^{n - 1}}$$ (2.2) so ist die Interpolationsaufgabe gelost, wenn die n Koeffizienten a1,…,a n so bestimmt werden, das die n Interpolationsbedingungen (2.1), also $${a_1} + {a_2}{x_i} + {a_3}x_i^2 + \ldots + {a_n}x_i^{n - 1} = {y_i}(i = 1, \ldots ,n),$$ (2.3) gelten. Dieses lineare Gleichungssystem zur Bestimmung der a1,…,a n hat die Koeffizientenmatrix $$A = \left( {\matrix{1 \;\;\;\; {{x_1}} \;\;\;\; {x_1^2} \;\;\;\; \ldots \;\;\;\; {x_1^{n - 1}} \cr 1 \;\;\;\; {{x_2}} \;\;\;\; {x_2^2} \;\;\;\; \ldots \;\;\;\; {x_2^{n - 1}} \cr 1 \;\;\;\; {{x_3}} \;\;\;\; {x_3^2} \;\;\;\; \ldots \;\;\;\; {x_3^{n - 1}} \cr \vdots \;\;\;\; \vdots \;\;\;\; \vdots \;\;\;\; {} \;\;\;\; \vdots \cr 1 \;\;\;\; {{x_n}} \;\;\;\; {x_n^2} \;\;\;\; \ldots \;\;\;\; {x_n^{n - 1}} \cr} } \right),$$ (2.4) fur deren Determinante, wie in der linearen Algebra gezeigt wird, gilt $$\matrix{{\det A = \prod\limits_{1 \le j \le k \le n} {({x_k} - {x_j})} } \cr { = ({x_n} - {x_1})({x_n} - {x_2}) \cdots ({x_n} - {x_{n - 1}})} \cr { \cdot ({x_{n - 1}} - {x_1})({x_{n - 1}} - {x_2}) \cdots ({x_{n - 1}} - {x_{n - 2}})} \cr \cdots \cr { \cdot ({x_3} - {x_1})({x_3} - {x_2})} \cr { \cdot ({x_2} - {x_1}).} \cr }$$ (2.3)