Analyse p-adique et complétés unitaires universels pour GL₂(F)

Soit p un nombre premier. Les resultats de cette these s'inscrivent dans le cadre du programme de Langlands p-adique. Lorsque V est une representation p-adique de dimension 2 du groupe Gal(\bar{Qp}/Qp), on sait lui associer une representation p-adique continue B(V) de GL₂(Qp). Si F est une extension finie non triviale de Qp, la question d'associer des representations p-adiques de GL₂(F) aux representations p-adiques de dimension 2 de Gal(\bar{Qp}/F) dans l'esprit d'une correspondance locale a la Langlands s'annonce beaucoup plus delicate. Dans ce texte, nous considerons des espaces de Banach p-adiques, munis d'une action lineaire continue de GL₂(F), qui sont des completions unitaires universelles de certaines representations localement Qp-analytiques de GL₂(F). Celles-ci sont susceptibles de jouer un role important dans une eventuelle correspondance de Langlands locale p-adique pour GL₂(F). Le resultat principal de cette these est demontre dans le Chapitre 3 et generalise des resultats anterieurs de Berger et Breuil. Il consiste en une description explicite de ces completes unitaires universels a l'aide des fonctions continues sur F d'un certain type. Pour ce faire, nous introduisons dans le Chapitre 2 des espaces de Banach de fonctions de classe C^r, ou r est un nombre rationnel positif, et leurs espaces duaux de distributions d'ordre r. Nous construisons une base de Banach et nous donnons un critere de prolongement des formes lineaires definies sur un espace de fonctions localement Qp-polynomiales en distributions d'ordre r. Ce faisant, nous generalisons des resultats classiques dus a Amice-Velu et Vishik. Dans le Chapitre 4, nous exhibons des cas de non nullite pour les completions unitaires universelles considerees par construction explicite de reseaux invariants. Cela donne de nouveaux cas de la conjecture proposee par Breuil et Schneider sur l'equivalence entre l'existence de normes invariantes sur certaines representations localement algebriques de GL_d(F) et l'existence de certaines representations de de Rham de Gal(\bar{Qp}/F).