Dynamics of Localized Structures in Spatially Extended and Coupled Systems with Delayed Feedback

Systeme mit Zeitverzogerung sind von grosem Interesse in Nichtlinearer Dynamik und allgegenwartig in den Naturwissenschaften. Gegenstand dieser Doktorarbeit ist die raumzeitliche Dynamik raumlich-ausgedehnter, nichtlinearer Systeme mit Zeitverzogerung, mit besonderem Augenmerk auf deren lokalisierte Losungen. Die betrachteten Systeme werden beschrieben durch partielle Differentialgleichungen und gekoppelte Systeme von gewohnlichen Differentialgleichungen mit verzogerter Ruckkopplung. Hinsichtlich der partiellen Differentialgleichungen untersucht diese Arbeit die Existenz und Stabilitat der ebenen Wellenlosungen ebenso, wie die Existenz und Stabilitat der lokalisierten Losungen der eindimensionalen, komplexen, kubischen und kubisch-quintischen Ginzburg-Landau Gleichung mit verzogerter, optischer Ruckkopplung. Das erste Ergebnis dieser Arbeit ist die vollstandige Beschreibung der Menge der ebenen Wellenlosungen und ihre Stabilitat fur lange Verzogerungszeiten. Aufgrund der Symmetrie der Ginzburg-Landau Gleichung bildet diese Menge eine eindimensionale Familie, die zum Auftreten einer „Tube“ in Parameter-Koordinaten fuhrt. Das zweite, neuartige Ergebnis ist die Beschreibung der Modulationsinstabilitat dieser lokalisierten Strukturen. Diese Instabilitat kann zu einer periodischen und chaotischen Zickzackbewegung der Losung fuhren. Das dritte Resultat ist die Charakterisierung gebundener Impulsfolgen in einem System von gekoppelten gewohnlichen Differentialgleichungen mit Zeitverzogerung, das zur Beschreibung einer Anordnung von modengekoppelten Lasers herangezogen wird. In diesem Regime interagieren die modengekoppelten Impulse in verschiedenen Lasern lokal uber die Balance von Abstosung und Anziehung. Resultierend daraus entstehen Cluster von Impulsen, die in einzelnen modengekoppelten Lasern nicht moglich sind. Samtliche genannte Phanomene wurden analytisch und numerisch behandelt.%%%%Systems with time-delay are ubiquitous in nature and attract significant interest in the field of nonlinear dynamics. The scope of this Thesis is the spatiotemporal dynamics in spatially extended nonlinear systems with time-delay, with a focus on the dynamics of localized structures. The systems under consideration are described by partial differential equations with delayed feedback and coupled systems of delay differential equations. For the partial differential equations, the existence and stability of plane wave solutions as well as localized structures are investigated in one-dimensional complex cubic and cubic-quintic Ginzburg-Landau equation with delayed feedback. The first result of this Thesis is the complete description of the set of plane wave solutions and their stability in the limit of large delay time. Due to the symmetry of Ginzburg-Landau equation, this set forms a one-dimensional family which leads to the appearance of the “tube” in parameter coordinates which is filled densely with plane wave solutions with the increase of the delay time. The second novel result is the description of modulational instability of…