Problèmes inverses et commande robuste de quelques équations aux dérivées partielles

Les travaux rassembles dans ce manuscrit d'habilitation portent sur quelques modeles d'equations aux derivees partielles et se developpent selon deux axes, l'un oriente vers des questions d'identifiabilite de parametres, l'autre vers la commande robuste aux perturbations exterieures. Le premier axe est introduit par une presentation de l'etat de l'art concernant les problemes inverses de determination de coefficients dans les principales equations d'evolution. Il s'articule d'abord autour de la demonstration de la stabilite du probleme inverse de determination du potentiel dans une simple equation des ondes posee en domaine borne. Cela permet de decrire divers cas plus exotiques, ou l'equation des ondes est posee avec des conditions de transmission sur une interface connue, ou posee sur un reseau de branches en dimension un d'espace, ou bien encore semi-discretisee en la variable d'espace. Le principal outil construit et employe est une inegalite de Carleman appropriee a chaque situation. La methode qui permet d'en deduire la stabilite du probleme inverse sert ensuite a la mise en place d'un schema numerique nouveau pour la reconstruction du potentiel. D'autres etudes de stabilite de problemes inverses pour des equations paraboliques et dispersives viennent conclure cette partie. Le second axe de mes travaux s'attache a la commande robuste de systemes de dimension infinie decrits par des equations aux derivees partielles. La principale motivation consiste a pouvoir travailler meme avec ces systemes dans un cadre de type espace d'etat et obtenir des resultats en commande robuste H-infini similaires a ceux de la dimension finie. Nous detaillons ainsi un theoreme ramenant, dans le cadre de systemes de dimension infinie, la commande robuste a la resolution d'equations de Riccati. L'idee finale est de formuler des resultats theoriques de commande garantissant une certaine robustesse de la stabilite du systeme en assurant le rejet des perturbations. Nous presentons dans un premier temps l'etude d'un systeme d'optique adaptative qu'il a ete possible de formuler dans un tel cadre avant d'effectuer des simulations numeriques sur le modele tronque. C'est ensuite un systeme couple fluide/structure modelise a base d'equations aux derivees partielles puis reduit a la dimension finie qui est presente. Il est finalement etudie avec les outils usuels de la commande (placement de poles, observateurs, controleurs d'ordre reduit) avant de faire l'objet de test sur le banc d'essai a l'origine du modele.