Quelques propriétés des sous-groupes de Gal(k((t))/k)

Resume L'objet de cet article est l'etude de certaines proprietes structurelles des sous-groupes du groupe Gal ( k ( ( t ) ) / k ) , des k -automorphismes pour un corps commutatif k donne du corps k ( ( t ) ) des series de Laurent a coefficients dans k . Apres avoir montre que le centre de Gal ( k ( ( t ) ) / k ) est trivial en toute caracteristique, nous montrons qu'en caracteristique nulle le centre d'un sous-groupe non abelien de Gal ( k ( ( t ) ) / k ) est necessairement cyclique, propriete que nous notons ( Z c ) en toute generalite pour un groupe. Ce resultat est obtenu grâce a une etude fine du centralisateur de chaque element de Gal ( k ( ( t ) ) / k ) . Cette etude repose principalement sur l'introduction de l'elevation a la puissance a (ou a ∈ k ) definie sur le sous-groupe des automorphismes principaux (i.e. l'ensemble des σ ∈ Gal ( k ( ( t ) ) / k ) tels que v ( σ ( t ) − t ) ≥ 2 ). En marge de cette etude nous montrons en particulier que ce sous-groupe est de type CA. Nous etudions ensuite la propriete ( Z c ) . Nous montrons que la somme amalgamee de deux groupes possedant la propriete ( Z c ) sur un groupe cyclique possede la propriete ( Z c ) . Ce resultat nous amene a regarder la possibilite d'amalgames de torsion dans Gal ( k ( ( t ) ) / k ) : etant donnes deux elements de torsion de Gal ( k ( ( t ) ) / k ) , le sous-groupe engendre par ces element est-il un amalgame ? Nous donnons une interpretation graphique de ce probleme en connexion avec la theorie de Serre–Bass et nous decrivons deux situations, l'une ou la reponse a la question est oui et l'autre non.