Понижение степени интегралов гамильтоновых систем с помощью биллиардов

В теории интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы широко известны интегрируемые системы, обладающие интегралами высоких степеней, а именно 3 и 4: система Ковалевской и её обобщения - система Ковалевской-Яхьи и система Ковалевской на алгебре Ли so (4), Горячева-Чаплыгина-Сретенского, Соколова и Дуллина-Матвеева. Показано, что помощи интегрируемых биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик, понижается степень интегралов 3 и 4 этих систем на ряде изоэнергетических 3-поверхностей. Более того, при этом интегралы степени 3 и 4 сводятся к одному и тому же каноническому квадратичному интегралу на биллиарде.