Schémas de discrétisation Compatible Discrete Operator pour les équations de Navier–Stokes d’un fluide incompressible en régime instationnaire

Nous developpons des schemas dits face-based Compatible Discrete Operator (CDO-Fb) pour les equations de Stokes et Navier–Stokes incompressibles en regime instationnaire. Des operateurs pour la reconstruction du gradient, de la divergence et un autre pour le terme de convection sont proposes. On montre que l'operateur de divergence discret permet de satisfaire une condition inf-sup, tandis que l'operateur de convection discret est dissipatif, propriete cruciale pour le bilan d'energie. Le schema de discretisation est d'abord teste dans le cas stationnaire sur des maillages generaux mais aussi deformes, afin d'illustrer la flexibilite et la robustesse de la discretisation CDO-Fb. Dans un deuxieme temps, l'attention est placee sur les techniques de marche en temps. En particulier, nous etudions l'approche monolithique traditionnelle qui consiste a resoudre directement le systeme de point-selle, et la methode de Compressibilite Artificielle (AC), qui permet de ne plus avoir un systeme de point-selle a resoudre au prix d'une relaxation du bilan de masse. Trois strategies classiques pour le traitement du terme non lineaire du a la convection sont examinees: l'algorithme de Picard, la linearisation et l'explicitation. Des resultats numeriques utilisant des schemas temporels du premier ordre d'abord, puis du deuxieme ordre, montrent que la methode AC constitue une alternative precise et efficace a l'approche monolithique traditionnelle