Étude de fonctionnelles géométriques dépendant de la courbure par des méthodes d'optimisation de formes. Applications aux fonctionnelles de Willmore et Canham-Helfrich

En biologie, lorsqu'une quantite importante de phospholipides est inseree dans un milieu aqueux, ceux-Ci s'assemblent alors par paires pour former une bicouche, plus communement appelee vesicule. En 1973, Helfrich a propose un modele simple pour decrire la forme prise par une vesicule. Imposant la surface de la bicouche et le volume de fluide qu'elle contient, leur forme minimise une energie elastique faisant intervenir des quantites geometriques comme la courbure, ainsi qu'une courbure spontanee mesurant l'asymetrie entre les deux couches. Les globules rouges sont des exemples de vesicules sur lesquels sont fixes un reseau de proteines jouant le role de squelette au sein de la membrane. Un des principaux travaux de la these fut d'introduire et etudier une condition de boule uniforme, notamment pour modeliser l'effet du squelette. Dans un premier temps, on cherche a minimiser l'energie de Helfrich sans contrainte puis sous contrainte d'aire. Le cas d'une courbure spontanee nulle est connu sous le nom d'energie de Willmore. Comme la sphere est un minimiseur global de l'energie de Willmore, c'est un bon candidat pour etre un minimiseur de l'energie de Helfrich parmi les surfaces d'aire fixee. Notre premiere contribution dans cette these a ete d'etudier son optimalite. On montre qu'en dehors d'un certain intervalle de parametres, la sphere n'est plus un minimum global, ni meme un minimum local. Par contre, elle est toujours un point critique. Ensuite, dans le cas de membranes a courbure spontanee negative, on se demande si la minimisation de l'energie de Helfrich sous contrainte d'aire peut etre effectuee en minimisant individuellement chaque terme. Cela nous conduit a minimiser la courbure moyenne totale sous contrainte d'aire et a determiner si la sphere est la solution de ce probleme. On montre que c'est le cas dans la classe des surfaces axisymetriques axiconvexes mais que ce n'est pas vrai en general.Enfin, lorsqu'une contrainte d'aire et de volume sont considerees simultanement, le minimiseur ne peut pas etre une sphere qui n'est alors plus admissible. En utilisant le point de vue de l'optimisation de formes, la troisieme et plus importante contribution de cette these est d'introduire une classe plus raisonnable de surfaces, pour laquelle l'existence d'un minimiseur suffisamment regulier est assuree pour des fonctionnelles et des contraintes generales faisant intervenir les proprietes d'ordre un et deux des surfaces. En s'inspirant de ce que fit Chenais en 1975 quand elle a considere la propriete de cone uniforme, on considere les surfaces satisfaisant une condition de boule uniforme. On etudie d'abord des fonctionnelles purement geometriques puis nous autorisons la dependance a travers la solution de problemes aux limites elliptiques d'ordre deux poses sur le domaine interieur a la surface