Étude de marches aléatoires sur un arbre de Galton-Watson

Ce travail est consacre a l'etude de limites d'echelle de differentes fonctionnelles de marches aleatoires sur un arbre de Galton-Watson, potentiellement en milieu aleatoire. La marche aleatoire que nous considerons sur cet arbre est une marche aux plus proches voisins recurrente nulle, dont les probabilites de transition dependent de l'environnement. Plus particulierement, nous etudions la trace de la marche, c'est-a-dire le sous-arbre constitue des sommets visites par celle-ci. Nous considerons d'abord le cas ou dans un certain sens l'environnement est a variance finie, et nous montrons que bien renormalisee la trace converge vers la foret brownienne. Nous considerons ensuite des hypotheses plus faibles, et nous montrons que la fonction de hauteur de la marche (c'est-a-dire la suite des hauteurs prises par la marche) converge vers le processus de hauteur en temps continu d'un processus de Levy spectralement positif strictement stable, et que la trace de la marche converge vers l'arbre reel code par ce meme processus. La strategie employee pour etablir ces resultats repose sur l'etude d'un type d'arbres que nous introduisons dans cette these : ceux-ci sont des arbres de Galton-Watson a deux types, l'un des types etant sterile, et a longueur d'arete. Notre principal resultat concernant ces arbres assure que leur fonction de hauteur satisfait un principe d'invariance, similaire a celui verifie par les arbres de Galton-Watson simples. Ces arbres trouvent egalement une application directe dans les arbres de Galton-Watson multitype a infinite de types, un lien explicite entre les deux nous permettant de montrer qu'ils satisfont egalement le meme principe d'invariance.