Catégories abéliennes en dimension 2

En algebre de dimension 2, les 2-groupes symetriques (groupoides monoidaux symetriques ou tout objet a un inverse a isomorphisme pres) jouent un role similaire a celui des groupes abeliens en algebre de dimension 1. Le but de ce travail est de definir une notion de categorie abelienne en dimension 2 qui soit aux 2-groupes symetriques ce que la notion de categorie abelienne ordinaire est aux groupes abeliens. On donnera deux solutions a ce probleme. La premiere, les categories enrichies dans les groupoides abeliennes, est une generalisation des categories abeliennes ordinaires. Dans un tel contexte, on peut developper la theorie des suites exactes et de l'homologie d'une facon proche de l'homologie dans une categorie abelienne : on y demontre plusieurs lemmes de diagrammes classiques ainsi que l'existence de la longue suite exacte d'homologie associee a une extension de complexes de chaines. Cela generalise des resultats connus pour les 2-groupes symetriques. L'autre solution, les categories enrichies dans les groupoides 2-abeliennes (qui sont egalement abeliennes au sens du paragraphe precedent), imite les proprietes des 2-groupes symetriques plus specifiques a la dimension 2, en particulier l'existence de deux systemes de factorisation : surjectif/plein et fidele, et plein et surjectif/fidele. De plus, dans une categorie enrichie dans les groupoides 2-abelienne, la categorie des objets discrets est equivalente a celle des objets connexes et ces categories sont abeliennes. Les exemples incluent, outre les 2-groupes symetriques, les 2-modules sur un 2-anneau, qui forment une categorie enrichie dans les groupoides 2-abelienne. Par ailleurs, les groupoides internes, foncteurs internes et transformations naturelles internes a une categorie abelienne (et, en particulier, les 2-espaces vectoriels au sens de Baez-Crans) forment une categorie enrichie dans les groupoides 2-abelienne si et seulement si l'axiome du choix est satisfait dans la categorie abelienne.