Méthodes proximales pour la résolution de problèmes inverses : application à la tomographie par émission de positrons

L'objectif de cette these est de proposer des methodes fiables, efficaces et rapides pour minimiser des criteres convexes apparaissant dans la resolution de problemes inverses en imagerie. Ainsi, nous nous interesserons a des problemes de restauration/reconstruction lorsque les donnees sont degradees par un operateur lineaire et un bruit qui peut etre non additif. La fiabilite de la methode sera assuree par l'utilisation d'algorithmes proximaux dont la convergence est garantie lorsqu'il s'agit de minimiser des criteres convexes. La quete d'efficacite impliquera le choix d'un critere adapte aux caracteristiques du bruit, a l'operateur lineaire et au type d'image a reconstruire. En particulier, nous utiliserons des termes de regularisation bases sur la variation totale et/ou favorisant la parcimonie des coefficients du signal recherche dans une trame. L'utilisation de trames nous amenera a considerer deux approches : une formulation du critere a l'analyse et une formulation du critere a la synthese. De plus, nous etendrons les algorithmes proximaux et leurs preuves de convergence aux cas de problemes inverses multicomposantes. La recherche de la rapidite de traitement se traduira par l'utilisation d'algorithmes proximaux parallelisables. Les resultats theoriques obtenus seront illustres sur differents types de problemes inverses de grandes tailles comme la restauration d'images mais aussi la stereoscopie, l'imagerie multispectrale, la decomposition en composantes de texture et de geometrie. Une application attirera plus particulierement notre attention ; il s'agit de la reconstruction de l'activite dynamique en Tomographie par Emission de Positrons (TEP) qui constitue un probleme inverse difficile mettant en jeu un operateur de projection et un bruit de Poisson degradant fortement les donnees observees. Pour optimiser la qualite de reconstruction, nous exploiterons les caracteristiques spatio-temporelles de l'activite dans les tissus