Analyse d'images par des méthodes variationnelles et géométriques

Dans cette these, nous nous interessons a la fois aux aspects theoriques et a la resolution numerique du probleme de Mumford-Shah avec anisotropie pour la restauration et la segmentation d'image. Cette fonctionnelle possede en effet la particularite de reconstruire une image degradee tout en extrayant l'ensemble des contours des regions d'interet au sein de l'image. Numeriquement, on utilise l'approximation d'Ambrosio-Tortorelli pour approcher un minimiseur de la fonctionnelle de Mumford-Shah. Elle Gamma-converge vers cette derniere et permet elle aussi d'extraire les contours. Les implementations avec des schemas aux differences finies ou aux elements finis sont toutefois peu adaptees pour l'optimisation de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli. On presente ainsi deux nouvelles formulations discretes de la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli a l'aide des operateurs et du formalisme du calcul discret. Ces approches sont utilisees pour la restauration d'images ainsi que pour le lissage du champ de normales et la detection de saillances des surfaces digitales de l'espace. Nous etudions aussi un second probleme d'optimisation de forme similaire avec conditions aux bords de Robin. Nous demontrons dans un premier temps l'existence et la regularite partielle des solutions, et dans un second temps deux approximations par Gamma-convergence pour la resolution numerique du probleme. L'analyse numerique montre une nouvelle fois les difficultes rencontrees pour la minimisation d'approximations par Gamma-convergence.