Bounds for Hardy Type Differences

让 k 一个不可分的操作员被定义由$ A_k f\left ( x \right )= \frac { 1 }{{ K\left ( x \right )}}\int_{ \Omega _2 }{ k\left ({ x ， y } \right ) f\left ( y \right ) d\mu _2 \left ( y \right )，}$ A_k f\left ( x \right )= \frac { 1 }{{ K\left ( x \right )}}\int_{ \Omega _2 }{ k\left ({ x ， y } \right ) f\left ( y \right ) d\mu _2 \left ( y \right )，}