Dehn surgeries and smooth structures on 3-dimensional transitive Anosov flows.

Cette these porte sur les chirurgies de Dehn et les structures differentielles associees aux flots d'Anosov transitifs en dimension trois. Les flots d'Anosov constituent une classe tres importante des systemes dynamiques, par leurs proprietes chaotiques persistantes par perturbations, autant que par leur riche interaction avec la topologie de la variete ambiante. Bien que beaucoup soient connus sur le comportement dynamique et ergodique de ces flots, il n'y a pas une comprehension assez claire sur la classification de ses differentes classes d'equivalence orbitale. Jusqu'a ce moment, les plus grands progres ont ete fait en dimension trois, ou il y une famille de techniques pour la construction d'exemples de flot d'Anosov connue comme chirurgies.Pendant la realisation de cette these, dans un premier temps nous nous sommes interesses a une chirurgie en particulier, connue comme la chirurgie de Goodman. Cette procedure consiste a choisir une orbite periodique du flot et realiser une chirurgie de Dehn autour de cette orbite, adaptee au flot d'une facon telle qu'on obtient une nouvelle variete munie d'un flot d'Anosov. La problematique que souleve cette technique est que, pour la realisation de la chirurgie, un des parametres a choisir est une surface plongee dans la 3-variete et un diffeomorphisme defini sur elle. De ce fait, l'espace de parametres est, a priori, de dimension infinie et, pourtant, ce n'est pas facile d'avoir un controle sur la classe d'equivalence du flot obtenu par cette methode. Il existe une deuxieme procedure, qui peut-etre interpretee comme une version infinitesimale de celle qui precede, connue comme la chirurgie de Fried. Celle-ci consiste a eclater l'orbite periodique, obtenant de ce fait un flot defini sur une variete a bord, puis collapser cette composante de bord d'une facon non-triviale et produire un nouveau flot. Cette chirurgie produit des flots univoquement definis, mais ceux-ci ne sont pas munis d'une structure hyperbolique naturelle. Ils sont, par construction, flots topologiquement d'Anosov.Notre contribution consiste a montrer que, si on assume de plus que les flots sont transitifs, alors une chirurgie de Goodman et une chirurgie de Fried autour de la meme orbite periodique produisent des flots equivalents, a egal election de parametres entiers.Dans un second temps nous avons travaille sur une question un peu plus abstraite, mais qui est naturellement liee a certaines procedures techniques dans la construction de flots hyperboliques. C'est le probleme de savoir si tout flot dit topologiquement d'Anosov (i.e. expansif et qui satisfait la propriete de shadowing de Bowen correspond a un flot hyperbolique differentiable, a equivalence orbitale pres. Dans le cas particulier ou le flot est transitif, il est connu depuis tres longtemps qu'il peut etre muni d'une structure non-uniformement hyperbolique definie dans le complementaire d'un ensemble fini d'orbites periodiques. La plus grande difficulte est de construire des modeles (globalement) hyperboliques associes au flot original.Dans ce contexte, notre contribution consiste a montrer que tout flot topologiquement d'Anosov et transitif, defini dans une variete de dimension trois, est orbitalement equivalent a un flot d'Anosov lisse.